Demonstre, a partir das eqs. de Maxwell incluindo uma corrente , a expressão do balanço de energia médio para um campo monocromático,

Onde é um vetor de Poynting complexo. Interprete a parte real e a parte imaginária.

Agora é que vão entrar as equações de Maxwell. Elas vão nos dizer o rotacional de e de :

Nessa última equação a gente pegou o complexo conjugado de todos os vetores, já que quem aparece na equação lá de cima é .

E esses campos e , como são monocromáticos, tem essa representação complexa aqui:

E já colocamos os conjugados complexos ali também. É só mudar o sinal da exponencial complexa!

Agora vamos substituir isso tudo na nossa equação principal:

Ok, agora vamos ver como ficam essas derivadas temporais:

Então:

Ótimo, agora apareceram uns produtoes escalares que a gente sabe resolver! Quando você faz o produto escalar de um vetor pelo seu conjugado, olha o que acontece:

É o módulo quadrado! Então, fazendo isso naqueles dois produtos notáveis:

Multiplicando os dois lados por e arrumando um pouco:

Ok, já está ficando bem parecido com a expressão do enunciado!

Só falta aparecerem aqueles termos de densidade de energia elétrica e magnética. As fórmulas são essas aqui:

Podemos arrumar ou pouco essas equações para isolar e :

E substituindo lá em cima:

Vamos tirar esse de dentro dos colchetes:

Tá, agora precisamos dar um jeuti nesses coeficientes. Lembra dessa relação aqui?

Esse é a velocidade da onda no meio! Se a gente elevar aquela última igualdade ao quadrado:

Reorganizando um pouco:

Mas substituindo isso na nosa equação:

Agora dá pra cortar o :

E o caso do enunciado provavelmente vêm de uma aproximação! Porque é muito próximo de na maioria dos meios (água, ar, gas cabônico, etc.)

Então:

Pronto! Demonstramos a relação do enunciado.

A interpretação dessa equação pode ficar beeem complicada. Mas vamos fazer só um resumo.

Aquele produto escalar entre o campo elétrico e a densidade de corrente é uma medida do trabalho realizado sobre a distribuição de cargas.

Uma forma de ver isso é olhando as unidades. Vamos usar para dizer “a unidade de medida da grandeza . Então:

Ou seja, é uma energia por volume! Então essa é a interpretação da parte real.

E a parte imaginária? Bom, a gente está pegando uma soma de médias de energias e multiplicando por uma frequência.

Aquela é a taxa de transferência de energia numa região do espaço!

Tudo fica mais claro se a gente reescrever essa fórmula desse jeito aqui:

Pronto, agora ela diz o seguinte: (1) a taxa de transferência de energia é igual ao (2) trabalho realizado sobre as cargas mais a o fluxo de energia naquela região.

Beleza, agora a equação está demonstrada e explicada!