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Enunciado

Física - Moysés - Vol. 4 - Ed: 1º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 3

Demonstre que os vetores de polarização circular (5.39) formam uma base ortonormal para um produto escalar de vetores complexos a → e b → definido como a → * ∙ b → , ou seja, que

ε ^ + * ∙ ε ^ - = ε ^ + ∙ ε ^ - * = 0

ε ^ + * ∙ ε ^ + = ε ^ - * ∙ ε ^ - = 1

Passo 1

Pessoal, antes de começar a substituir, vamos entender melhor o que essas equações estão falando.

A primeira diz que o produto interno de dois vetores diferentes da base têm que ser nulo:

ε ^ + * ∙ ε ^ - = ε ^ + ∙ ε ^ - * = 0

Ou seja, os vetores são ortogonais uns aos outros. Nesse caso a base já seria ortogonal.

A segunda diz que o produto interno de um vetor com ele mesmo (ou, nesse caso, com o seu próprio conjungado) têm que dar 1 .

Isso vai garantir que a base seja ortonormal, e não só ortogonal.

Passo 2

Então tá, agora vamos lembrar quais eram esses vetores de polarização circular, e os seus conjugados complexos:

ε ^ + = 1 2 x ^ + i y ^         ⇒           ε ^ + * = 1 2 x ^ - i y ^

ε ^ - = 1 2 x ^ - i y ^         ⇒           ε ^ - * = 1 2 x ^ + i y ^

Percebeu que eles são os complexos conjugados um do outro? É isso que vai ajudar a gente agora.

O que acontece quando fazemos um produto interno de um desses vetores pelo seu próprio conjungado complexo?

ε ^ + ∙ ε ^ + * = 1 2 x ^ + i y ^ ∙ 1 2 x ^ - i y ^

Cuidado, isso é um produto escalar! Não é uma multiplicação. Resolvendo ficamos com isso aqui:

ε ^ + ∙ ε ^ + * = 1 2 1 2 x ^ ∙ x ^ + i 2 - i 2   y ^ ∙ y ^

E como i 2 = 1 e x ^ ∙ x ^ = y ^ ∙ y ^ = 1 :

ε ^ + ∙ ε ^ + * = 1 2 + 1 2 = 1

Que é exatamente o que a gente esperava. A conta para o produto interno ε ^ - * ∙ ε ^ - é idêntica:

ε ^ - * ∙ ε ^ - = 1 2 x ^ - i y ^ ∙ 1 2 x ^ + i y ^ = 1 2 + 1 2 = 1

Ok, provamos a primeira condição.

Passo 3

Agora vamos ver se os produtos internos de vetores diferentes se anulam:

ε ^ + * ∙ ε ^ - = ε ^ + ∙ ε ^ - * = 0

Começando com ε ^ + * ∙ ε ^ - :

ε ^ + * ∙ ε ^ - = 1 2 x ^ - i y ^ ∙ 1 2 x ^ - i y ^

Fazendo o produto interno:

ε ^ + ∙ ε ^ + * = 1 2 1 2 x ^ ∙ x ^ + - i 2 - i 2   y ^ ∙ y ^

ε ^ + ∙ ε ^ + * = 1 2 - 1 2 = 0

E, mais uma vez, o outro produto é idêntico:

ε ^ + ∙ ε ^ - * = 1 2 x ^ + i y ^ ∙ 1 2 x ^ + i y ^

ε ^ + ∙ ε ^ - * = 1 2 1 2 x ^ ∙ x ^ + i 2 i 2   y ^ ∙ y ^

ε ^ + ∙ ε ^ - * = 1 2 - 1 2 = 0

Pronto! Provamos as duas condições. Isso quer dizer que esses vetores formam uma base ortonormal!

Resposta

Demonstração.

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