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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 3- Ed: 12º - Capítulo 21.Problemas - Ex. 104b

Denomina-se coroa anular um disco fino de raio externo R 2 com um buraco circular concêntrico de raio interno R 1 (Figura 21.51 ). Uma coroa anular possui uma densidade superficial de carga σ sobre sua superfície. a Determine a carga total sobre a coroa anular. b A coroa anular está sobre o plano y z com seu centro na origem. Para um ponto arbitrário sobre o eixo O x (o eixo de simetria da coroa anular), determine o módulo, a direção e o sentido do campo elétrico E → . Considere todos os pontos acima e abaixo do plano da coroa anular da Figura 21.51 . c Mostre que, para os pontos sobre o eixo O x suficientemente próximos da origem, o módulo do campo elétrico é aproximadamente proporcional à distância entre o centro da coroa e o ponto considerado. Qual é a distância que pode ser considerada “suficientemente próxima”? d Uma partícula puntiforme com massa m e carga - q pode se mover livremente sobre o eixo O x (mas não pode sair desse eixo). A partícula é inicialmente colocada sobre o ponto x = 0,01 R 1 e, a seguir, liberada. Determine a frequência das oscilações da partícula. (Sugestão: faça uma revisão da seção 13.2 . A coroa anular permanece em repouso.)

Passo 1

A coroa gera um campo elétrico em volta dela que depende do sinal da carga ou, no caso, da densidade superficial de carga σ . Lembrando que o campo é dado por:

E → = 1 4 π ϵ 0 q r 2 r ^

Para resolver este caso, consideramos o campo de um disco uniformemente carregado:

E → x = σ 2 ϵ 0 1 - 1 R 2 / x 2 + 1 i ^

Onde ϵ 0 = 8,854 ∙ 10 - 12   C 2 / N m 2 e r → é o vetor direção do campo elétrico.

Passo 2

Dito isso, o campo resultante depende dos raios externos e interno, já que o disco não é completamente fechado. Então:

E → x = σ 2 ϵ 0 1 - 1 R 2 2 / x 2 + 1 - 1 - 1 R 1 2 / x 2 + 1 i ^

Para os valores positivos, ou seja, para x > 0 .

Enquanto que para x < 0 :

E → x = σ 2 ϵ 0 1 - 1 R 2 2 / x 2 + 1 - 1 - 1 R 1 2 / x 2 + 1 ( - i ^ )

Passo 3

Logo, generalizando para todos os valores de x :

E → x = - σ 2 ϵ 0 1 R 1 2 / x 2 + 1 - 1 R 2 2 / x 2 + 1 x x i ^

Resposta

- σ 2 ϵ 0 1 R 1 2 / x 2 + 1 - 1 R 2 2 / x 2 + 1 x x i ^

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