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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 18.Problemas - Ex. 80

Ao descrever o calor especifico de um solido na Seção 18.4. afirmamos que a energia potencial U = 1 2 k x 2 de um oscilador harmônico é igual à energia cinética K = 1 2 m v 2 , considerando valores médios calculados sobre um período. Prove esse resultado usando as equações (13.13) e (13.15) para a posição e a validade de um osciladoe harmônico simples. Para simplificar, suponha que a posição inicial e a velocidade inicial sejam tais que o ângulo de fase ϕ seja igual a zero. (Sugestão: use as idenidades trigonométricas cos 2 ⁡ θ = [ 1 + cos ⁡ ( 2 θ ) ] /   2   e s e n 2 θ = [ 1 - cos ⁡ ( 2 θ ) / 2 . Qual é o valor médico de cos ⁡ ( 2 ω t ) em um período completo?)

Passo 1

Para um oscilador harmônico simples,

x = A cos ⁡ ω t

E

v x = - ω A   s e n   ω t

Com ω = k / m .

O valor médio de c o s   ( 2 ω t ) em um período é zero, então

s e n 2 ω t = ( cos 2 ⁡ ω t ) = 1 2

Passo 2

Temos que a energia potencial é:

U = 1 2 k A 2 ( cos 2 ⁡ ω t )

E a energia cinética é:

K = 1 2 m ω 2 A 2 ( s e n 2   ω t )

Então, usando:

s e n 2 ω t = ( cos 2 ⁡ ω t ) = 1 2

E

m ω 2 = k

nos mostra que

K = U

Passo 3

Em geral, em um dado instante de tempo, U   ≠   K . São apenas os valores médios de um período que são iguais.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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