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Enunciado

Física - Alaor Chaves- Ed: 1º - Capítulo 7.Exercícios e Problemas - Ex. 8

A) Determine a posição do centro de massa do sistema Terra-Lua. Considere toda a massa de cada um destes corpos localizada em seus respectivos centros.

B) Se a Lua, repentinamente, perdesse toda a sua velocidade orbital e começasse a cair sobre a Terra, qual seria o deslocamento de cada um destes corpos até o momento da colisão?

C) Qual seria a velocidade de cada um dos corpos no momento da colisão?

Passo 1

Meus lindos!

Vamos com calma.

A)

Após pesquisar, encontramos que:

r T E R R A = 6371   k m

m T E R R A = 5,97 ∙ 10 24   k g

r L U A = 1737   k m

m L U A = 7,36 ∙ 10 22   k g

d = 384403   k m

Para sabermos o centro de massa, precisamos aplicar a formula:

r C M = 1 m T E R R A + m L U A m T E R R A ∙ r T E R R A + m L U A ∙ r L U A

Atentem-se: vamos fixar o centro da Terra na origem, logo r T E R R A = 0 .

r C M = 1 m T E R R A + m L U A m L U A ∙ ( r L U A + r T E R R A + d )

Adicionamos d   e   r T E R R A pois a soma de todas essas componentes resulta na distância do centro da Lua até a origem, que fixamos como sendo o centro da Terra.

Aplicando os valores fornecidos pela questão, encontraremos:

r C M = 4,8 ∙ 10 3   k m

Passo 2

B)

Como já respondemos no item anterior, se encontramos que o centro de massa está distante 4,8 ∙ 10 3   k m da origem do eixo e o centro da Terra é a origem dos eixos...

Então, intuitivamente descobrimos que:

d T E R R A = 4,8 ∙ 10 3   k m

A distância da lua ao centro de massa será:

d L U A = d + r L U A + r T E R R A - r C M = 3,9 ∙ 10 5   k m

Passo 3

C)

Para resolver a letra C:

Sabemos que:

U d = - G M m d

Como a lua perderia toda sua velocidade:

G m T E R R A m L U A d = m L U A v 2 2

v = 2 G m T E R R A d

Substituindo os valores, encontraremos:

v T ≅ 0,12 k m s

Agora, substituindo na equação do momento:

m T v T = m T + m L ∙ v L

Encontraremos:

v L ≅ 9,7   k m / s

Resposta

a )   r C M = 4,8 ∙ 10 3   k m

b )   d T E R R A = 4,8 ∙ 10 3   k m   e   d L U A = 3,9 ∙ 10 5   k m

c )   v T ≅ 0,12 k m s   e   v L ≅ 9,7   k m / s

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