O diagrama p - V da figura mostra duas trajetórias ao longo das quais uma amostra de gás pode passar do estado a para o estado b , onde V b = 3,0   V 1 . A trajetória 1 requer que uma energia igual a 5,0 p 1 V 1 seja transferida ao gás na forma de calor. A trajetória 2 requer que uma energia igual a 5,5 p 1 V 1 seja transferida ao gás na forma de calor. Qual é a razão p 2 / p 1 ?

Passo 1

Vamos começar relembrando a primeira lei da termodinâmica:

Q = Δ E i n t + W

No caso da trajetória 1 , o calor transferido ao gás deve ser Q = 5,0 p 1 V 1 , então:

5,0 p 1 V 1 = Δ E i n t , a b + W 1

E Δ E i n t , a b é a variação de energia interna entre os pontos A e B , e W 1 é o trabalho realizado na trajetória 1 .

Passo 2

No caso da trajetória 2 , o calor transferido ao gás deve ser Q = 5 , 5 p 1 V 1 , então:

5 , 5 p 1 V 1 = Δ E i n t , a b + W 2

Onde W 2 é o trabalho realizado na trajetória 2 . Então ficamos com um sistema de duas equações:

5,5 p 1 V 1 = Δ E i n t , a b + W 2 5,0 p 1 V 1 = Δ E i n t , a b + W 1

Tirando proveito do fato de que a variação de energia interna é a mesma nos dois caos, vamos subtrair a segunda equação da primeira:

5,5 - 5,0 p 1 V 1 = W 2 - W 1

Passo 3

Perceba que o termo do lado direito da equação (o trabalho “resultante” realizado no ciclo) é igual à área definida pelo triângulo do gráfico no enunciado, então:

W 2 - W 1 = 1 2 b . h

W 2 - W 1 = 1 2 V b - V 1 p 2 - p 1

Mas o enunciado diz que V b = 3 V 1 , então:

W 2 - W 1 = 1 2 2 V 1 p 2 - p 1

W 2 - W 1 = V 1 p 2 - p 1

Agora vamos substituir isso na equação de cima:

0,5 p 1 V 1 = V 1 p 2 - p 1

Vamos dividir os dois lados por p 1 V 1 :

0,5 = p 2 p 1 - 1

p 2 p 1 = 1,5

Resposta

A razão entre as pressões é p 2 / p 1 = 1,5 .

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