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Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 20.1 - Ex. 56

O diâmetro d de uma haste cônica de comprimento L é dado por d = d 0   ( 1 + a x ) , onde a é uma constante e x é a distância de uma extremidade. Se a condutividade térmica do material é k , qual é a resistência térmica da haste?

Passo 1

Bom, a questão nos dá as medidas da haste e a condutividade térmica do material, e nos pede a resistência térmica, podemos usar a equação que relaciona a temperatura com a condutividade e a corrente térmica:

∆ T = I R

E então usamos a equação da corrente:

I = - k A d T d x

O sinal será negativo porque a corrente de calor se desloca no sentido contrário ao sentido do gradiente de temperatura.

Passo 2

Dessa maneira, podemos expressar a área em termos de x e então resolvermos a equação diferencial separável para encontrarmos ∆ T :

A = π 4 d 2 = π 4 d 0 2 ( 1 + a x ) 2

E então substituímos na equação de I :

I = - k π 4 d 0 2 ( 1 + a x ) 2 d T d x

Isolamos d T :

d T = - I d x k π 4 d 0 2 1 + a x 2 = - 4 I d x k π d 0 2 1 + a x 2

E por fim integramos x de zero a L para cobrirmos todo o comprimento do cone e obtermos a variação de temperatura, ficamos com:

∆ T = 4 I L k π d 0 2 1 + a L

Passo 3

E então substituímos la na primeira equação do Passo 1:

R = ∆ T I

R = 4 I L k π d 0 2 1 + a L 1 I

Simplificando:

R = 4 L k π d 0 2 1 + a L

Resposta

R = 4 L k π d 0 2 1 + a L

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