Uma barra de cobre, uma barra de alumínio e uma barra de latão, todas com 6,00   m de comprimento e 1,00   c m de diâmetro, são colocadas em contato pelas extremidades, com a barra de alumínio no meio. A extremidade livre da barra de cobre é mantida no ponto de ebulição da água e a extremidade livre da barra de latão é mantida no ponto de congelamento da água. Qual é a temperatura, no regime estacionário, (a) da junção cobre-alumínio e (b) da junção alumínio-latão?

Passo 1

Belezoca pessoal, vamos começar desenhando a situação:

Essas temperaturas que estão digitadas nas extremidades das barras são fixas! O nosso objetivo é saber qual a temperatura em alguns pontos do sistema quando ele atinge o regime estacionário.

Sempre que ouvir falar em regime estacionário de temperatura, pense naquela regra: no regime estacionário, as taxas de transporte de energia são iguais em todos os pontos! Lembra da fórmula dessa taxa?

P = k A Δ T L

Onde o k é a condutividade térmica do material, A é a área de contato, Δ T é a diferença de temperatura nas extremidades e L é a “espessura” (a distância que separa as extremidades por onde o calor entra e sai).

Beleza, vamos usar isso pra montar uma equação que seja útil pra gente!

Passo 2

Bora começar fazendo o mais tranquilo, só igualando os P ’s de cada uma das barras:

P C = P A = P L

Cada barra vai ter a própria condutividade térmica e diferença de temperatura, mas A e L são iguais para todos!

k C A Δ T C L = k A A Δ T A L = k L A Δ T L L

Então vamos cortar os termos iguais:

k C Δ T c = k A Δ T A = k L Δ T L

Beleza, nosso vamos “abrir” essas diferenças de temperatura:

k C 100 - T C A = k A T C A - T A L = k L ( T A L - 0 )

Onde T C A , por exemplo, é a temperatura na fronteira entre cobre e alumínio, e assim por diante.

k C 100 - T C A = k A T C A - T A L = k L T A L

E nosso primeiro objetivo é encontrar justamente essa temperatura T C A .

Passo 3

A gente pode consultar qualquer uma daquelas condutividades térmicas em uma tabela, mas vamos deixar pra substituir os valores no final.

Como a gente pode resolver aquelas equações pra achar T C A ? Vamos separar isso em duas equações:

k C 100 - T C A = k A T C A - T A L

k A T C A - T A L = k L T A L

E agora vamos arrumar um pouco a primeira equação:

100 k C - T C A k C = T C A k A - T A L k A

T C A = 100 k C + T A L k A k A + k C

A única coisa que não conhecemos ali é o T A L , então vamos isolar ele na segunda equação.

k A T C A - T A L = k L T A L

T A L k L + k A = k A T C A

T A L = k A T C A k L + k A

Ótimo, agora vamos substituir isso na equação que achamos para o T C A :

Passo 4

(a) Tínhamos encontrado essa equação aqui:

T C A = 100 k C + T A L k A k A + k C

E vamos substituir o T A L pela outra fórmula que também achamos:

T C A = 100 k C + k A T C A k L + k A k A k A + k C = 100 k C ( k A + k C ) + k A 2 T C A k L + k A k A + k C

T C A 1 - k A 2 k L + k A k A + k C = 100 k C ( k A + k C )

Vamos continuar isolando o T C A !

T C A = 100 k C k A + k C 1 - k A 2 k L + k A k A + k C

Agora a gente pode consultar as condutividades térmicas em uma tabela:

k C = 401 W m K

k A = 235 W m K

k L = 109 W m K

Substituindo:

T C A = 100 ( 401 ) 235 + 401 1 - ( 235 2 ) 109 + 235 235 + 401 = 84,3389   ° C

Beleza, então:

T C A ≅ 84,3   ° C

Vamos em frente.

Passo 5

(b) Agora vamos aproveitar uma das fórmulas que já achamos pra encontrar a temperatura da fronteira entre o alumínio e o latão: T A L .

Lá no passo 3 , a gente tinha achado essa equação aqui:

T A L = k A T C A k L + k A

E agora que a gente sabe o T C A , podemos substituir tudo:

T A L = ( 235 ) ( 84,3 ) 109 + 235 = 57,6 ° C

Pronto, resolvido!

Resposta

(a) 84,3 ° C .

(b) 57,6 ° C .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados