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Enunciado

Física - Randall D. Knight - Eletricidade e Magnetismo- Ed: 2º - Capítulo 29.Exercícios e Problemas - Ex. 72

Um disco dotado de um orifício tem um raio interior R i n t e um raio exterior R e x t . O disco é uniformemente carregado com uma carga total Q. Obtenha uma expressão para o potencial elétrico criado sobre o eixo de simetria do disco a uma distância z de seu centro. Verifique se sua expressão apresenta o comportamento correto quando R i n t → 0 .

Passo 1

Faaaala pessoal.

Imagine que uma linha está esticada dentro do disco carregado, queremos determinar o potencial elétrico ao longo dessa linha imaginária. Em vez de fazer isso com um disco, vamos começar apenas com a borda dele, como se fosse um anel.

Sendo r a o raio do anel e q a a carga deste anel. A distância do anel até a linha é

r a 2 + z 2

Vamos colocar isso na equação do potencial elétrico

V a = 1 4 π ε 0 q a r a 2 + z 2

Perceba que nosso disco foi dividido em vários anéis de tamanho Δ r

Se somarmos inúmeros anéis podemos chegar a um disco.

∑ a V a = 1 4 π ε 0 ∑ a q a r a 2 + z 2

V = 1 4 π ε 0 ∑ a q a r a 2 + z 2

Vamos definir a carga em termos da densidade superficial de carga

q a = η ⋅ 2 π r a ⋅ Δ r

Substituindo

V = 1 4 π ε 0 ∑ a η ⋅ 2 π r a ⋅ Δ r r a 2 + z 2

Vamos colocar os termos constante no lado esquerdo

V = 1 4 π ε 0 η 2 π ∑ a r a ⋅ Δ r r a 2 + z 2

Passo 2

Agora, vamos simplificar o 2 π e integrar a região do disco.

V = η 2 ε 0 ∫ R i n t R e x t r d r r 2 + z 2

Lembrando que 1 x = x - 1 Logo, teremos

V = η 2 ε 0 r 2 + z 2 R i n t R e x t

Substituindo

V = η 2 ε 0 R e x t 2 + z 2 - R i n t 2 + z 2

Passo 3

A densidade superficial de carga é

η = Q A

Vamos substituir a área do disco

η = Q π R e x t 2 - R i n t 2

Então, basta inserir isso no lugar de η

V = Q 2 π ε 0 R e x t 2 - R i n t 2 R e x t 2 + z 2 - R i n t 2 + z 2

Fazendo R i n t tender a zero, temos

V = Q 2 π ε 0 R e x t 2 R e x t 2 + z 2 - z

Resposta

V = Q 2 π ε 0 R e x t 2 - R i n t 2 R e x t 2 + z 2 - R i n t 2 + z 2

Para R i n t → 0

V = Q 2 π ε 0 R e x t 2 R e x t 2 + z 2 - z

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