Um disco sólido de raio r e massa m está girando em torno de um eixo sem atrito através de seu centro e perpendicular ao disco, com velocidade angular ω 1 na temperatura T 1 . A temperatura do disco diminui para T 2 . Expresse a velocidade angular ω 2 , a energia cinética rotacional K 2 e o momento angular L 2 em termos de seus valores na temperatura T 1 e o coeficiente de expansão linear α do disco.

Enunciado

O eixo passa pelo centro, o que significa que podemos escrever o momento angular da seguinte maneira:

Como, a variação de temperatura não causa variação no torque sobre o disco, podemos escrever a expressão do torque como sendo:

Ou seja, o momento angular não varia de um momento a outro, já que o torque é zero. Então podemos dizer que:

E também:

Escrevendo o momento de inercia do disco após a diminuição de temperatura:

E então escrevemos em termos de pela equação de expansão linear:

Ficamos com:

E agora precisaremos fazer algumas aproximações, o fator quadrático ao expandirmos o termo é muito menor que o fator linear, podemos desprezá-lo:

Substituindo na equação

Ficamos com:

Simplificando os momentos de inercia e isolando :

E fazendo a expansão binomial e desprezando os termos de maiores ordens que o termo linear para :

Teremos:

E por fim, vamos escrever as energias totais, e em termos do momento angular e do momento de inércia, assim:

Fazendo então a razão entre as duas energias:

Mas a última razão que encontramos pode ser escrita em termos dos momentos angulares que encontramos no passo 3:

E também no passo 3 calculamos a relação entre os momentos angulares, então ficamos com:

Como a energia do sistema é somente cinética:

Ei, a resposta está no passo a passo :)