Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 2- Ed: 14º - Capítulo 17.Problemas - Ex. 76

Um peso de 250 kg é pendurado no teto com um fio de cobre fino. Em seu modo fundamental, esse fio vibra na frequência de um A (lá) com afinação de concerto (440 Hz). A seguir, você aumenta a temperatura do fio em 40 °C. (a) Por qual valor a frequência fundamental varia? Ela aumentará ou diminuirá? (b) Por qual porcentagem a velocidade da onda no fio varia? (c) Por qual porcentagem o comprimento de onda da onda estacionária fundamental varia? Ele aumentará ou diminuirá?

Passo 1

Fala galera, bora lá!

Para resolvermos esse exercício, temos que relembrar a relação que descreve o fenômeno de dilatação térmica em decorrência de um aumento na temperatura. Bem, é um resultado experimental que, ao aquecermos um material, ele sofrerá dilatação em todas as direções. O quanto esse material dilatar em uma direção específica (como a direção radial em um objeto esférico ou na direção do comprimento de uma barra, por exemplo), tal dilatação é dita ser linear. Matematicamente, a variação de comprimento na direção analisada é diretamente proporcional ao comprimento inicial e à própria variação de temperatura . A constante de proporcionalidade entre as grandezas em questão é o coeficiente de dilatação, que varia de material para material:

Passo 2

Da tabela 17.1 do livro encontrada na sessão “expansão térmica”, temos que o coeficiente de dilatação linear do aço é . Se a trena está correta na temperatura ambiente de e mediu a distância entre dois pontos a uma temperatura menor, isso significa que a medida está diferente do comprimento real, pois a trena se encontra contraída. Tal erro pode ser consertado ao calcularmos o comprimento contraído equivalente a 30m (tamanho real da trena), e como as proporções do instrumento de medida em questão se mantêm as mesmas independentemente da dilatação\contração, podemos identificar onde se encontra a marca de 25,97 m na trena real.

Passo 3

Assim sendo, na equação de dilatação linear temos que e , ou seja:

Passo 4

Fisicamente, esse resultado nos diz que ao lermos 30m na trena contraída, estamos medindo um comprimento real de:

Logo, já que as proporções da trena se mantêm as mesmas, quando contraída qualquer medida feita com ela estará diminuída por um fator de:

Passo 5

Isso significa que a relação entre a distância medida pela trena contraída e a distância real entre os dois pontos se relacionam da seguinte maneira:

Portanto, concluímos que a distância real entre os dois pontos é

Resposta

A distância real entre os dois pontos é

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