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Enunciado

Física - Física de Sears & Zemansky: Mecânica Volume 1 - 12ª Edição - Hugh D. Young e Roger A. Freedman- Ed: 12º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 89

Dois asteróides com massas m a e m b se movem com velocidades v a → e v b → em relação a um astrônomo que está em um veículo espacial. a) Mostre que a energia cinética total medida pelo astrônomo é dada por

K = 1 2 ⋅ M ⋅ v c m 2 + 1 2 ⋅ ( m a ⋅ v a ' 2 + m b ⋅ v b ' 2 )

onde v c m e M são definidos como na Seção 8.5, v a ' → = v a → - v c m → e v b ' → = v b → - v c m → . Nessa expressão a energia cinética total dos dois asteróides é a energia associada com o centro de massa mais a energia associada com o movimento em torno do centro de massa. b) Se ocorrer uma colisão entre os dois asteróides, qual deve ser a energia cinética mínima que eles podem possuir em relação ao astrônomo após a colisão? Explique.

Passo 1

O enunciado nos dá uma situação de dois asteróides indo se chocar e uma nave observando o evento. Para resolver esse problema, usaremos os conceitos de centro de massa junto com conservação de momento para uma colisão entre os asteróides

Passo 2

  1. Temos que o problema é basicamente a imagem mostrada acima. Vemos que o centro de massa terá uma velocidade v c m → dependendo das velocidades dos asteróides. Temos que a energia cinética dos corpos é:

    2. K = 1 2 ⋅ m a ⋅ v a 2 + 1 2 ⋅ m b ⋅ v b 2

    Temos pelo que é dado que v a → = v a ' → + v c m → e v b → = v b ' → + v c m → . Assim, v a 2 e v b 2 será v a → ⋅ v a → e v b → ⋅ v b → , chegando na seguinte relação:

    v a 2 = v a ' 2 + v c m 2 + 2 ⋅ v a ' → ⋅ v c m →

    v b 2 = v b ' 2 + v c m 2 + 2 ⋅ v b ' → ⋅ v c m →

    Onde v a ' → e v b ' → são velocidades relativas a velocidade do centro de massa. Então, substituindo na relação da energia, teremos:

    K = 1 2 ⋅ m a ⋅ v a ' 2 + 1 2 ⋅ m a ⋅ v c m 2 + m a ⋅ v a ' → ⋅ v c m → + 1 2 ⋅ m b ⋅ v b ' 2 + 1 2 ⋅ m b ⋅ v c m 2 + m b ⋅ ( v b ' → ⋅ v c m → )

    K = 1 2 ⋅ v c m 2 ⋅ m a + m b + 1 2 ⋅ m a ⋅ v a ' 2 + m b ⋅ v b ' 2 + 1 2 ⋅ v c m → ⋅ ( m a ⋅ v a ' → + m b ⋅ v b ' → )

    Porém, temos que m a ⋅ v a ' → + m b ⋅ v b ' → = M ⋅ v c m ' → que é a velocidade do centro de massa em relação a ele mesmo, mas isso é zero uma vez que para alguém parado no centro de massa não haverá velocidade em relação a si próprio. Logo m a ⋅ v a ' → + m b ⋅ v b ' → = 0 . Então teremos:

    K = 1 2 ⋅ v c m 2 ⋅ m a + m b + 1 2 ⋅ m a ⋅ v a ' 2 + m b ⋅ v b ' 2

    K = 1 2 ⋅ M ⋅ v c m 2 + 1 2 ⋅ m a ⋅ v a ' 2 + m b ⋅ v b ' 2

    Passo 3

  2. Se houver uma colisão entre os asteróides, temos que o momento deve se conservar, principalmente o momento do centro de massa. Temos que após a colisão entre os asteróides, o centro de massa continuará com a mesma velocidade. Sendo assim, os asteróides em si podem perder toda sua energia cinética que ainda restará a energia cinética do centro de massa. Logo a energia cinética mínima que o sistema pode possuir em relação ao astrônomo será

K = 1 2 ⋅ M ⋅ v c m 2

Resposta

a) K = 1 2 ⋅ M ⋅ v c m 2 + 1 2 ⋅ m a ⋅ v a ' 2 + m b ⋅ v b ' 2

b) K = 1 2 ⋅ M ⋅ v c m 2

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