Uma pedra amarrada em uma corda se move no plano xy. Suas coordenadas são dadas em função do tempo por

onde e são constantes.

a) Mostre que a distância da pedra até a origem é constante e igual a , ou seja, sua trajetória é uma circunferência de raio.

b) Mostre que em cada ponto o vetor velocidade é perpendicular ao vetor posição.

c) Mostre que o vetor aceleração é sempre oposto ao vetor posição e possui módulo igual .

d) Mostre que o módulo da velocidade da pedra é constante e igual .

e) Combine os resultados das partes (c) e (d) para mostrar que a aceleração da pedra possui módulo constante igual a .

A distância de um ponto, digamos a origem até um ponto de coordenadas é:

Com e , vamos substituir ali em cima:

Lembrando da identidade fundamental da trigonometria: podemos simplificar a expressão para ali de cima:

Ou seja, a distância da pedra é uma circunferência de raio .

Show?

O vetor velocidade é a derivada do vetor posição em função do tempo. Vamos começar definindo o vetor posição:

A derivada temporal disso vai ser:

E juntando isso ao conceito de perpendicularidade de vetores, podemos mostrar o que o problema pede. A ideia aqui é usar o fato de que dois vetores são paralelos quando seu produto escalar é zero. Então vamos fazer o produto escalar entre e e ver se dá zero. Bora lá?

O produto escalar vai ser zero quando e vai ser um quando for entre vetores unitários iguais. Então teremos:

Muliplicando e reorganizando os fatores teremos a seguinte expressão:

Ou seja, é perpendicular a .

Tranquilo até aqui?

Já sabemos que a aceleração é a derivada temporal da velocidade, não é mesmo? Então agora vamos, a partir da expressão pra velocidade que calculamos ali no passo anterior, achar a aceleração e mostrar que ela é oposta ao vetor posição (que também definimos no passo anterior). Vamos lá?

O vetor velocidade é:

E a derivada dele é a aceleração:

Vamos agora colocar em evidência :

Mas agora compara lá no passo anterior com o vetor posição . O que temos dentro dos colchetes não é o oposto do vetor ? É sim! O que temos ali é , que é o oposto do vetor posição. Assim:

E seu módulo? Bom o módulo de um vetor qualquer é dado pela seguinte expressão:

Agora considerando o vetor aceleração que tem componentes e , vamos aplicar isso:

Assim o módulo do vetor aceleração é .

Estamos quase lá!

Já sabemos que o módulo de um vetor qualquer é dado pela seguinte expressão:

Agora considerando o vetor velocidade que tem componentes e , vamos aplicar isso ao módulo de um vetor:

Colocando o fator em evidência e aqui vou usar a identidade trigonométrica (que já usei no passo ):

Então aqui mostramos que o módulo do vetor velocidade é constante e vale .

Bora continuar!

Da parte temos e da parte temos . Assim:

E substituindo na aceleração:

Certo? Vamos pra próxima questão?

Entendeu tudo? Responde Aí!