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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 4- Ed: 12º - Capítulo 37.Problemas - Ex. 65

Dois eventos observados em um sistema S possuem tempos dados por ( x 1 , t 1 ) e ( x 2 , t 2 ) , respectivamente. a) O sistema S ' se move ao longo do eixo O x com uma velocidade paenas suficeite para que esses dois eventos ocorrem no mesmo ponto em relação ao sistema S ' . Mostre que, para o sistema S ' , o intervalo de tempo ∆ t ' entre os dois eventos é dado por

∆ t ' = ∆ t 2 - ∆ x c 2

Onde ∆ x = x 2 - x 1 e ∆ t = t 2 - t 1 . Portanto, mostre que, se ∆ x > c ∆ t , não existe nenhum sistema S ' no qual os dos eventos ocorrem no mesmo ponto. O intervalo ∆ t ' algumas vezes é chamado intervalo de tempo próprio para os dois eventos. Esse termo é apropriado? b) Mostre que se, ∆ x > c ∆ t , existe um sistema S ' diferente no qual os dois eventos ocorrem simultaneamente. Calcule a distância entre os dois eventos no sistema S ' : expresse sua resposta em termos de ∆ x , ∆ t e c . Essa distância algumas vezes é chamada de distância própria. Esse termo é apropriado? c) Verifica-se que em relação a um S ' dois eventos ocorrem simultaneamente em pontos separados por uma distância igual a 2,50   m . E um segundo sistema S que se move em relaão ao sistema S ' , parece que os dois eventos estão separados por uma distância de 5,0   m . Qual é o intervalo de tempo entre os dois eventos em relação ao sistema S ? (Sugestão: aplique o resultado do item (b).)

Passo 1

a) Beleza, a gente tem as posições do sistema S e os tempos dos dois eventos. No sistema S ' esses eventos acontecem no mesmo ponto, como queremos encontrar ∆ t ' precisamos escrever as transformações de Lorentz para a posição e para o tempo dos dois eventos no sistema S ' , primeiro a posição:

x 1 ' = x 1 - u t 1 1 - u 2 / c 2

x 2 ' = x 2 - u t 2 1 - u 2 / c 2

Mas nesse sistema, os dois eventos ocorrem no mesmo ponto, então:

x 1 ' = x 2 '

E as transformações ficam:

x 1 - u t 1 = x 2 - u t 2

Vamos separar os x e os t de cada lado:

x 2 - x 1 = u ( t 2 - t 1 )

u = ∆ x ∆ t

Agora vamos escrever as transformações de tempo para o sistema S ' dos dois eventos:

t 1 ' = t 1 - u x 1 / c 2 1 - u 2 / c 2

t 2 ' = t 2 - u x 2 / c 2 1 - u 2 / c 2

E então usamos a equação de diferença entre os tempos:

∆ t ' = t 2 ' - t 1 ' = 1 1 - u 2 c 2 ( ∆ t - u ∆ x / c 2 )

Substituindo u que achamos antes:

∆ t ' = t 2 ' - t 1 ' = 1 1 - ∆ x 2 c 2 ∆ t 2 ( ∆ t - ∆ x 2 ∆ t c 2 )

E agora precisamos mexer um pouco com a cara da equação. Primeiro a gente tira MMC no denominador da raiz e passa ∆ t para cima:

∆ t ' = ∆ t ∆ t 2 - ∆ x 2 c 2 ( ∆ t - ∆ x 2 ∆ t c 2 )

E agora a gente multiplica ele pelos termos no numerador:

∆ t ' = ∆ t 2 - ∆ x 2 ∆ t ∆ t c 2 ∆ t 2 - ∆ x 2 c 2

Simplificando o ∆ t no termo negativo no numerador:

∆ t ' = ∆ t 2 - ∆ x 2 / c 2   ∆ t 2 - ∆ x 2 c 2

Se passarmos o denominador para cima com expoente - 1 / 2 , fica mais fácil de visualizar que na verdade se trata de uma subtração entre expoentes:

∆ t ' = ∆ t 2 - ∆ x 2 c 2 2 2 ∆ t 2 - ∆ x 2 c 2 - 1 2

Assim:

∆ t ' = ∆ t 2 - ∆ x 2 c 2 1 2 = ∆ t 2 - ∆ x 2 c 2

E mostramos o que o enunciado pede para a gente. Mas podemos ver que essa equação não tem solução quando ( ∆ x / c ) 2 > ( ∆ t ) 2 ou ∆ x ≥ c ∆ t , já que isso faria com que a raiz ficasse negativa, o que significa que não existe um sistema S ' onde os eventos ocorrem no mesmo ponto.

Passo 2

b) Nesse caso os eventos acontecem simultaneamente, como já sabemos as transformações temporais no sistema S ' , vamos igualar as duas: t 1 ' = t 2 '

t 1 - u x 1 / c 2 1 - u 2 / c 2 = t 2 - u x 2 / c 2 1 - u 2 / c 2

Simplificando fica:

t 1 - u x 1 c 2 = t 2 - u x 2 c 2

Agora a gente faz aquilo de novo de colocar os tempos de um lado e os x do outro para calcular u :

t 2 - t 1 = u x 2 - x 1 c 2

∆ t = u ∆ x c 2

u = c 2 ∆ t ∆ x

Pronto, precisamos expressar a diferença entre as posições dessa vez, usando as transformações para o sistema S ' que escrevemos no passo 1:

∆ x ' = x 2 ' - x 1 ' = 1 1 - u 2 c 2 ( ∆ x - u ∆ t )

E como temos u , só substituir:

∆ x ' = 1 1 - c 2 ∆ t ∆ x 2 c 2 ∆ x - c 2 ∆ t ∆ x ∆ t

Como a gente tem ∆ x no denominador na raiz, vamos tirar MMC e colocar ele para cima:

∆ x ' = ∆ x ∆ x 2 - c 2 ∆ t 2 ∆ x - c 2 ∆ t 2 ∆ x

Multiplicando o denominador pelo parêntesis:

∆ x ' = ∆ x 2 - c 2 ∆ t 2 ∆ x 2 - c 2 ∆ t 2

Agora fazemos a diferença entre os expoentes que fizemos antes:

∆ x ' = ∆ x 2 - c 2 ∆ t 2

Olhando para a raiz podemos ver que se ∆ x 2 > c 2 ∆ t 2 ou ∆ x ≥ c ∆ t , a equação tem solução real, o que significa que existe um sistema S ' onde os eventos ocorrem simultaneamente.

Os termos ‘distância própria’ e ‘intervalo de tempo próprio’ se referem a um sistema especifico S ' , para cada sistema diferente, vão existir valores de distancias e intervalos de tempo de acordo com as características de cada sistema, então faz sentido chamar esses valores de “próprios”.

Passo 3

A letra (c) dá para a gente as distâncias tanto no sistema S quanto S ' e pede o intervalo de tempo. Vamos usar a equação de intervalo que calculamos na letra (b):

∆ x ' = ∆ x 2 - c 2 ∆ t 2

Isolando ∆ t :

∆ t = ∆ x 2 - ∆ x ' 2 c

E substituindo os valores:

∆ t = 5,00   m 2 - 2,50   m 2 3,0 × 10 8   m / s = 1,44 × 10 - 8   s

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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