57. A aproximação WKB. É um desafio resolver a equação de Schrödinger para os níveis de energia de estados ligados de um poço de potencial arbitrário. Um método alternativo que pode fornecer resultados aproximados para os níveis de energia é conhecido como aproximação WKB (sigla dada em homenagem aos físicos Gregor Wentzel, Hendrik Kramers e Léon Brillouin). A aproximação WKB começa com três afirmações físicas: De acordo com De Broglie, o módulo do momento linear de uma partícula é dado por . O módulo do momento linear é relacionado com a energia cinética por. Quando não existe nenhuma força não-conservativa, de acordo com a mecânica newtoniana a energia de uma partícula é constante e dada em cada ponto pela soma da energia cinética com a energia potencial: , onde é a coordenada. Combine as três relações anteriores para mostrar que o comprimento de onda de uma partícula para uma coordenada é dado por

Portanto, imaginamos na mecânica quântica uma partícula em um poço de potencial como se fosse uma partícula livre, porém com um comprimento de onda que depende da posição. Quando a partícula se desloca para uma região com uma energia potencial crescente, o que ocorre com seu comprimento de onda? Em um ponto no qual , a mecânica newtoniana afirma que a partícula possui energia cinética zero e que ela está instantaneamente em repouso. Tal ponto é chamado de ponto clássico de inversão, visto que ele correspondente ao ponto onde a partícula para e retorna na mesma direção em sentido contrário. Como exemplo, um objeto que executa um movimento harmônico simples oscila para a frente e para trás entre os pontos e ; ambas as extremidades são um

ponto clássico de inversão, visto que nesses pontos a energia potencial é igual à energia total . Na expressão WKB para , qual é o comprimento de onda no ponto clássico de inversão? Para uma partícula em uma caixa de comprimento , as paredes da caixa são pontos clássicos de inversão (veja a Figura ). Além disso, o número de comprimentos de onda que completam o comprimento da caixa deve ser um número semi-inteiro (veja a Figura ), de modo que e, portanto, , onde [Note que essa é uma outra forma de expressar a Equação .] O método WKB para determinar os níveis de energia permitidos de estados ligados de um poço de potencial arbitrário é uma extensão das

observações anteriores. Ele exige que para um nível de energia permitido deve existir um número semi-inteiro de comprimentos de onda entre os dois pontos clássicos de inversão para a energia considerada. Visto que o comprimento de onda na aproximação WKB não é constante, porém depende de , o número de comprimentos de onda entre os dois pontos clássicos de inversão e para a energia considerada é obtido pela integral de entre esses pontos:

Usando a expressão de que você encontrou no item , mostre que a condição WKB para as energias permitidas de estados ligados pode ser escrita na forma

Para conferir essa solução, aplique a expressão obtida no item para uma partícula em uma caixa com paredes em e . Calcule a integral e mostre que as energias permitidas obtidas pelo método WKB concordam com as energias fornecidas pela Equação . (Sugestão: visto que as paredes da caixa possuem altura infinita, os pontos e são pontos clássicos de inversão para qualquer energia . No interior da caixa a energia

potencial é igual a zero.) Para o poço quadrado finito indicado na Figura , mostre que a aproximação WKB fornecida no item faz a mesma previsão dos estados de energia feita para um poço finito com a mesma largura. (Sugestão: suponha . Então, os pontos de inversão clássicos correspondem a e .) Isso mostra que à aproximação WKB não é eficiente quando a energia potencial varia descontinuamente como no caso de um poço de potencial finito. Nos dois problemas apresentados a seguir, consideraremos situações em que a energia potencial varia gradualmente e a aproximação WKB é muito mais eficiente.

Passo 1

Passo 2

Passo 3

Passo 4

Passo 5

Passo 6

Passo 7

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