Dois vetores são dados por a → = 3 , 0 i ^ + 5 , 0 j ^ e b → = 2 , 0 i ^ + 4 , 0 j ^ . Determine (a)   a → × b → , (b)   a → ∙ b → (c) a → + b → ∙ b → e (d) a componente de a → em relação a b → .

Passo 1

(a) O produto vetorial entre os dois vetores será escrito como:

a → × b → = ( a x b y - a y b x ) = ( 3,0 4,0 - ( 5,0 ) ( 2,0 ) ) k ^

a → × b → = 2,0 k ^

As outras componentes do produto vetorial serão zero, já que os vetores a → e b → não possuem coordenada z, e por isso, ao fazermos os produtos, eles irão zerar os valores para as componentes i ^ e j ^ .

Passo 2

(b) O produto interno será:

a → ∙ b → = a x b x + a y b y = 3,0 2,0 + 5,0 4,0 = 26,0

Passo 3

(c) Vamos primeiro resolver a soma entre os dois vetores (os termos entre parênteses) para depois fazermos o produto interno:

a → + b → = 3 , 0 + 2 , 0 i ^ + 5 , 0 + 4 , 0 j ^ = 5 , 0 i ^ + 9,0 j ^

E o produto interno será:

a → + b → ∙ b → = 5,0 2,0 + 9,0 4,0 = 46

Passo 4

Para encontrarmos a componente de a → em relação a b → , fazemos o produto interno do vetor a → pelo vetor unitário de b → , vamos então calcular primeiro o vetor unitário:

b ^ = b → b = 2 , 0 i ^ + 4 , 0 j ^ ( 2,0 ) 2 + ( 4,0 ) 2

E então o produto interno:

a b = a → ∙ b ^ = 3 , 0 2,0 + 5 , 0 4,0 2,0 2 + 4,0 2 = 5,81

Resposta

( a ) a → × b → = 2,0 k ^

( b ) a → ∙ b → = 26,0

( c ) a → + b → ∙ b → = 46

( d ) a b = 5,81

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