Duas antenas de rádio irradiam em fase e estão localizadas nos pontos A e B separados por uma distância de 200   m (Figura 35.23). As ondas de rádio têm uma frequência igual a 5,80   H z . Um receptor de rádio é deslocado de B , sendo movido ao longo de uma reta perpendicular ao segmento que liga os pontos A e B (reta B C da Figura 35.23). A que distâcia de B ocorrerá interferência destrutiva? (Nota: a distância entre o receptor e a fonte não é grande em comparação com a distância entre as fontes, de modo que a Equação (35.5) não pode ser aplicada.)

Passo 1

Bom, a gente sabe que a interferência destrutiva acontece quando a diferença de caminho das duas ondas que chegam até o receptor segue essa fórmula aqui:

d = m + 1 2 λ

Então vamos fazer um desenho pra ajudar a calcular essa diferença de caminho:

d = d A - d B

d = 200 2 + x 2 - x

Passo 2

Ok, agora vamos fazer um pouco de álgebra. Igualando as duas expressões do passo de cima, ficamos com o seguinte:

m + 1 2 λ = 200 2 + x 2 - x

Isolando a raiz quadrada:

m + 1 2 λ + x = 200 2 + x 2

E elevando os dois lados ao quadrado:

m + 1 2 λ 2 + x 2 + 2 x m + 1 2 λ = 200 2 + x 2

m + 1 2 λ 2 + 2 x m + 1 2 λ = 200 2

E agora isolando x :

x 2 m + 1 2 λ = 200 2 - m + 1 2 λ 2

x = 200 2 2 m + 1 2 λ - 1 2 m + 1 2 λ

Você pode calcular o comprimento de onda λ a partir da frequência:

λ = c f = 3,00 × 10 8 5,80 × 10 6 = 51,7   m

Obs.: O enunciado menciona uma frequência de 5,8   H z , mas nesse caso o comprimento de onda estaria na casa dos milhares de quilômetros (não faz sentido nesse problema!).

E por isso usamos 5,8   M H z , que dá um comprimento mais razoável para esse problema, e que faz sentido para ondas de rádio.

Passo 3

Então vamos ver os valores de x que aparecem para m = 0,1 , 2 , … .

O que a gente quer calcular é a primeira posição de x em que a intereferência acontece, então vamos começar com os valores mais altos de m .

Quando m = 4 :

x = 200 2 2 4 + 1 2 51,7 - 1 2 4 + 1 2 51,7 = - 30,3   m

Esse resultado já não faz sentido, porque pela nossa definição x só pode ser positivo.

Então vamos tentar com m = 3 :

x = 200 2 2 3 + 1 2 51,7 - 1 2 3 + 1 2 51,7 = 20,0   m

Beleza, então essa é a primeira posição de interferência destrutiva.

Resposta

A interferência acontece quando o receptor está a 20,0   m de B .

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