Duas cargas puntiformes positivas, cada uma com módulo q , são fixadas sobre o eixo O y nos pontos y = a   e y = - a   . Considere zero o potencial a uma distância infinita das cargas. a)Faça um diagrama para montar as posições das cargas. b)Qual é o potencial V o na origem? c)Mostre que o potencial em qualquer ponto sobre o eixo O x é dado por V = 1 4 π ϵ o 2 q a 2 + x 2 . d)Faça um gráfico do potencial sobre o eixo O x em função de x de x = - 4 a até x = + 4 a . e)Qual é o potencial quando x ≫ a ? Explique como esse resultado é obtido.

Passo 1

letra a)

Como as cargas estão fixadas sobre o eixo O y nos pontos y = a   e y = - a   , temos o seguinte desenho.

Passo 2

letra b)

O potencial elétrico é dado por:

V = 1 4 π ϵ o q r

Na origem o potencial será então:

V o = 1 4 π ϵ o q a + 1 4 π ϵ o q a

V o = 2 4 π ϵ o q a

Passo 3

letra c)

Vamos pegar agora o potencial em qualquer ponto do eixo x .

Se considerarmos o desenho do item (a), vemos que a distância r será a hipotenusa do triângulo com os catetos a e x .

Então:

r = a 2 + x 2

O potencial então será:

V = 1 4 π ϵ o q a 2 + x 2 + 1 4 π ϵ o q a 2 + x 2

V = 2 4 π ϵ o q a 2 + x 2

Passo 4

letra d)

Pela expressão do potencial, podemos perceber que o potencial aumenta conforme o módulo de x diminui e o potencial terá um pico em x = 0 . Então:

Passo 5

letra e)

Quando x ≫ a , podemos aproximar o potencial para:

V = 2 4 π ϵ o q x 2

V = 2 4 π ϵ o q x

Assim como uma carga pontual de carga +   2 q . A uma distância das cargas muito maior que a separação, as duas cargas agem como uma carga pontual única.

Resposta

letra a)

letra b) V o = 2 4 π ϵ o q a

letra d)

letra e) V = 2 4 π ϵ o q x

Assim como uma carga pontual de carga +   2 q . A uma distância das cargas muito maior que a separação, as duas cargas agem como uma carga pontual única.

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