Enunciado
Física - Fundamentos de Física Volume 3 - Eletromagnetismo - 10ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 10º - Capítulo 21.1 - Ex. 9
Duas esferas condutoras iguais, mantidas fixas, se atraem mutuamente com uma força eletrostática de quando a distância entre os centros é . As esferas são ligadas por um fio condutor de diâmetro desprezível. Quando o fio é removido, as esferas se repelem com uma força de . Supondo que a carga total das esferas fosse inicialmente positiva, determine: (a) a carga negativa inicial de uma das esferas; (b) a carga positiva inicial da outra esfera.
Passo 1
Como as esferas se atraem, obrigatoriamente, as suas cargas elétricas possuem sinais opostos. Então, a força elétrica entre elas é igual a (sendo a distância entre elas e e as suas cargas iniciais):
Quando elas entram em contato entre si, as soma das suas cargas é dividida igualmente entre elas. Então, depois do contato, cada uma fica com uma carga igual a , e a força de repulsão (positiva) entre elas é igual a:
Passo 2
Agora, vamos usar uma sacada que vai facilitar nossa resolução. Repare que, da primeira equação do Passo 1, a gente tem que
Da segunda equação, a gente extrai que:
Passo 3
Agora, podemos encontrar cada uma das cargas acima considerando que elas são raízes de uma equação da seguinte equação do segundo grau:
Considerando que a equação do segundo grau acima é do tipo:
Podemos achar o discriminante da função através da relação:
Logo,
As raízes , por suas vez , podem ser obtidas pela relação:
Logo,
Assim, encontramos as respostas:
(a)
(b)
Resposta
(a)
(b)