Enunciado

Duas moléculas neutras no eixo x atraem-se mutuamente. Cada molécula tem um monte de dipolo p → , e estes momentos de dipolo estão na direção + x e estão separados por uma distância d . Deduza uma expressão para a força de atração em termos de p e d .

Passo 1

Inicialmente, vamos supor que a distância entre os dipolos seja muito maior do que a distância de separação das cargas de cada dipolo.

Dessa forma, vamos começar calculando o campo elétrico de um dipolo para grandes distâncias. Veja:

Suponha que P seja um ponto cuja distância ao centro do dipolo (origem do sistema x y ) é muito maior do que a distância que separa - q e + q . Temos que:

E - = k q x + a 2 2 = k q x 2 1 + a 2 x 2 E + = k q x - a 2 2 = k q x 2 1 - a 2 x 2

Agora, vamos usar a aproximação de Bernoulli que diz:

1 + x n ≈ 1 + n x

Válida apenas quando x ≪ 1 . Sendo assim, temos

E - = k q x 2 1 + a 2 x - 2 ≈ k q x 2 1 - a x

E + = k q x 2 1 - a 2 x - 2 ≈ k q x 2 1 + a x

Dessa forma,

E = E + - E - = 2 k q a x 3 = 2 k p x 3

Passo 2

Dessa forma, a primeira molécula faz um campo elétrico E sobre a segunda molécula. Assim, a energia que a molécula estará sujeita é:

U = p E cos ⁡ 0 ° = 2 k p 2 x 3

Porém,

F = - d U d x = 6 k p 2 x 4

Para o nosso problema, temos x = d , logo

F = 6 k p 2 d 4

Resposta

A força será F = 6 k p 2 / d 4 .

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