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Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 17.1 - Ex. 67

A função distribuição f v é definida na equação 17-36. Como f(v)dv dá a fração de moléculas que têm rapidez na faixa ente v e v+dv, a integral de f(v)dv sobre todos os possíveis valores de rapidez deve ser igual a 1. Dado que a integral

∫ 0 ∞ v 2 e - a v 2 d v = π 4 a - 3 2

Mostre que

∫ 0 ∞ f v d v = 1

Onde f v é dado pela equação 17-36

Passo 1

Antes de começar, vamos corrigir um erro do enunciado. O certo é

∫ 0 ∞ v 2 e - a v 2 d v = π 4 a - 3 2

O 4 fica fora da raiz e não dentro, tudo bem?

Agora sim! Olá! Então, ele quer que a gente prove que

∫ 0 ∞ f v d v = 1

Sendo que f v é dada pela equação 17-36:

f v = 4 π m 2 k T 3 2 v 2 e - m v 2 2 k T

Substituindo uma na outra, precisamos provar que:

∫ 0 ∞ 4 π m 2 k T 3 2 v 2 e - m v 2 2 k T d v = 1

Basicamente vamos tentar calcular essa integral da esquerda e ver que ela dá 1. Não se assusta com a função grande e feia no integrando hahaha A gente vai rearrumar, e com bastante cuidado, vamos conseguir integrar!

Passo 2

A primeira coisa a fazer quando a gente tem uma integral feia é tirar do integrando tudo o que é constante e está multiplcado por uma função de v . Nossa integral é em relação a v , certo? Então todas as outras letras são constantes.

Podemos fazer:

∫ 0 ∞ 4 π m 2 k T 3 2 v 2 e - m v 2 2 k T d v = 4 π m 2 k T 3 2 ∫ 0 ∞ v 2 e - m v 2 2 k T d v     i

Percebe que esse termo que a gente tirou da integral estava em produto com a função e é formado só por letras diferentes de v .

Passo 3

Vamos olhar com cuidado essa integral que ficou

∫ 0 ∞ v 2 e - m v 2 2 k T d v

E lembrar que o enuncido nos deu:

∫ 0 ∞ v 2 e - a v 2 d v = π 4 a - 3 2       ( i i )

Percebe que as integrais são quase iguais? O que muda é o expoente. Mas se a gente chamar

a = m 2 k T

A gente aqui só deu um outro nome para essa expressão de constantes, tá? Aí nossa integral fica:

∫ 0 ∞ v 2 e - m v 2 2 k T d v = ∫ 0 ∞ v 2 e - m 2 k T v 2 d v = ∫ 0 ∞ v 2 e - a v 2 d v

Essa é exatamente a integral dada pelo enunciado i i , então podemos escrever a partir de i i , que

∫ 0 ∞ v 2 e - a v 2 d v = π 4 a - 3 2

Lembrando que a = m 2 k T :

∫ 0 ∞ v 2 e - m v 2 2 k T d v = π 4 m 2 k T - 3 2

Passo 4

Voltando em i onde a gente tinha a expressão da integral reescrita:

∫ 0 ∞ 4 π m 2 k T 3 2 v 2 e - m v 2 2 k T d v = 4 π m 2 k T 3 2 ∫ 0 ∞ v 2 e - m v 2 2 k T d v

Mas a gente achou o resultado da integral, então:

∫ 0 ∞ 4 π m 2 k T 3 2 v 2 e - m v 2 2 k T d v = 4 π m 2 k T 3 2 π 4 m 2 k T - 3 2

Rearrumando

∫ 0 ∞ 4 π m 2 k T 3 2 v 2 e - m v 2 2 k T d v = 4 π π 4 m 2 k T 3 2 m 2 k T - 3 2

∫ 0 ∞ 4 π m 2 k T 3 2 v 2 e - m v 2 2 k T d v = 1 m 2 k T 3 2 m 2 k T - 3 2

Pela propriedade de potência, se dois termos com base iguais estão em produto, a gente pode somar os expoentes:

∫ 0 ∞ 4 π m 2 k T 3 2 v 2 e - m v 2 2 k T d v = 1 m 2 k T 3 2 - 3 2

∫ 0 ∞ 4 π m 2 k T 3 2 v 2 e - m v 2 2 k T d v = 1 m 2 k T 0

∫ 0 ∞ 4 π m 2 k T 3 2 v 2 e - m v 2 2 k T d v = 1 1

∫ 0 ∞ 4 π m 2 k T 3 2 v 2 e - m v 2 2 k T d v = 1

Lembrando que

f v = 4 π m 2 k T 3 2 v 2 e - m v 2 2 k T

E substituindo

∫ 0 ∞ f v d v = 1

Prontinho! Provamos o que ele pediu. 😊

Resposta

Demonstração nos passos

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