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Enunciado

Física - Randall D. Knight - Eletricidade e Magnetismo- Ed: 2º - Capítulo 28.Exercícios e Problemas - Ex. 58

Uma esfera de raio R possui uma carga total Q. A densidade de carga volumétrica (em C / m 3 ) no interior da esfera é dada por ρ = ρ 0 1 - r R

Essa densidade de carga decresce linearmente desde o valor 0 no centro até zero na borda da esfera.

a. Mostre que ρ 0 = 3 Q π R 3 . Dica: Você vai precisar resolver uma integral de volume.

b. Mostre que o campo elétrico dentro da esfera aponta radialmente para fora da mesma, com módulo dado por Q r 4 π ε 0 R 3 4 - 3 r R

c. Mostre que seu resultado para o item anterior fornece o valor esperado para o campo em r = R

Passo 1

Fala minha gente!!

Vamos começar definindo Q

Q = ∫ d q

Lembrando que a carga depende do volume e da densidade volumétrica

∫ d q = ∫ 0 R ρ d v

∫ d q = ∫ 0 R ρ 4 π r 2 d r

Podemos substituir a densidade de carga

∫ d q = ∫ 0 R ρ 0 1 - r R 4 π r 2 d r

∫ d q = 4 π ρ 0 ∫ 0 R r 2 - r 3 R d r

Realizando a integral

Q = 4 π ρ 0 r 3 3 - r 4 4 R 0 R

Q = 4 π ρ 0 R 3 12

E ao isolar ρ 0 finalizamos nossa demonstração

ρ 0 = 3 Q π R 3

Passo 2

Usaremos essa equação para relacionar os termos com o campo elétrico

A E = Q i n t ε 0

Podemos usar as informações do Passo 1 para definir a carga

∫ d q = 4 π ρ 0 ∫ 0 r r 2 - r 3 R d r

Q i n t = 4 π ρ 0 r 3 3 - r 4 4 R

Substituindo a carga na Lei de Gauss

A E = 4 π ρ 0 ε 0 ⋅ r 3 3 - r 4 4 R

Vamos usar a área da esfera e a densidade de carga volumétrica

4 π r 2 E = 4 π ε 0 ⋅ 3 Q π R 3 ⋅ r 3 3 - r 4 4 R

E = 1 ε 0 ⋅ 3 Q π R 3 r 3 - r 2 4 R

Para simplificar, deixaremos o r / 3 em evidência

E = 1 ε 0 ⋅ 3 Q π R 3 ⋅ r 3 1 - 3 r 4 R

Simplificando

E = r Q ε 0 π R 3 ⋅ 1 - 3 r 4 R

Para encerrar a demonstração só precisamos multiplicar por 4 dos dois lados da fração

E = r Q 4 ε 0 π R 3 ⋅ 4 - 3 r R

Passo 3

Para o item (c) basta igualarmos r = R

E = R Q 4 ε 0 π R 3 ⋅ 4 - 3 R R

E = 1 4 ε 0 π ⋅ Q R 2

Esse é exatamente o valor previsto pela Lei de Coulomb.

Resposta

a.

Demonstração no Passo 1

b.

Demonstração no Passo 2

c.

E = 1 4 ε 0 π ⋅ Q R 2

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