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Enunciado

Física - Randall D. Knight - Eletricidade e Magnetismo- Ed: 2º - Capítulo 28.Exercícios e Problemas - Ex. 54

Um antigo modelo atômico, proposto por Rutherford logo após sua descoberta do núcleo atômico, era constituído por uma carga puntiforme positiva + Z e (o núcleo) no centro de uma esfera de raio R com carga negativa - Z e uniformemente distribuída pelo volume correspondente. A letra Z representa o número atômico, ou seja, o número de prótons que formam o núcleo ou o número de elétrons na esfera negativa.

a. Mostre que o campo elétrico interno do átomo, neste modelo, é dado pela expressão

E i n t = Z e 4 π ε 0 1 r 2 - r R 3

b. Quanto vale E na superfície desse modelo de átomo? Este valor é esperado? Explique.

c. O átomo de urânio corresponde a Z = 92 e R = 0,10 n m neste modelo atômico. Qual é a intensidade de campo elétrico em r = 1 2 R ?

Passo 1

Faaaala galera do responde aí

Temos que fazer a demonstração para um campo elétrico menor que o átomo

Para r ≤ R

A E = Q ε 0

4 π r 2 E = Q ε 0

Vamos chamar D de densidade de carga volumétrica, é simplesmente a carga distribuída pelo volume do átomo.

D = Q V   →   Q = D V

Q i n t = D ⋅ 4 / 3 π r 3 + Z e

A carga negativa vai ser distribuída pelo átomo de forma que

Q i n t = - Z e 4 / 3 π R 3 ⋅ 4 / 3 π r 3 + Z e

Simplificando

Q i n t = - Z e R 3 ⋅ r 3 + Z e

Q i n t = + Z e - Z e ⋅ r 3 R 3

Q = Z e 1 - r 3 R 3

Substituindo a carga

4 π r 2 E = Z e ε 0 ⋅ 1 - r 3 R 3

Agora para finalizar a demonstração só iremos isolar o campo elétrico

E = Z e 4 π ε 0 ⋅ 1 r 2 - r R 3

Passo 2

Na superfície Podemos igualar r = R

E = Z e 4 π ε 0 ⋅ 1 r 2 - r R 3

Ao substituir r por R , temos

E = Z e 4 π ε 0 ⋅ 1 R 2 - R R 3

E = 0

Como o átomo neutro não tem carga liquida, a Lei de Gauss já preve este resultado. O campo elétrico é nulo dentro de uma superfície fechada

Passo 3

Para o item c basta substituir os valores!

R = 0,10 n m = 1 ⋅ 10 - 10 m

r = R / 2

Z = 92

E = Z e 4 π ε 0 ⋅ 1 r 2 - r R 3

Vamos substituir os valores na equação acima

E = 92 e 4 π ε 0 ⋅ 1 R / 2 2 - R / 2 R 3

E = 92 ⋅ 1,6 ⋅ 10 - 19 4 π ε 0 ⋅ 1 1 ⋅ 10 - 10 / 2 2 - 1 ⋅ 10 - 10 / 2 1 ⋅ 10 - 10 3

E = 4,6 ⋅ 10 13 N / C

Resposta

a.

Demonstração no Passo 1

b.

E = 0

c.

E = 4,6 ⋅ 10 13 N / C

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