Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Física - Randall D. Knight - Eletricidade e Magnetismo- Ed: 2º - Capítulo 28.Exercícios e Problemas - Ex. 57

Uma esfera de raio R possui uma carga total Q. A densidade de carga volumétrica (em C / m 3 ) no interior da esfera é dada por ρ r = C / r 2 , onde C é uma constante a ser determinada.

a. A carga no interior de um volume infinitesimal dV é d q = ρ d V . A integral de dV sobre o volume inteiro da esfera é igual à sua carga total Q. Use este fato para determinar a constante C em função de Q e R. Dica: Considere dV como o volume infinitesimal de uma casca esférica de raio r e espessura dr. Qual é o volume de uma casca como essa?

b. Use a lei de Gauss para obter uma expressão para o campo elétrico E no interior da esfera, ou r ≤ R .

c. Sua expressão fornece o valor esperado para o campo na superfície, r = R ? Explique

Passo 1

Faaaaala galera

Vamos fazer um bom uso da dica do enunciado, primeiro consideraremos um volume infinitesimal, depois é só integrar.

ρ r = C / r 2

d q = ρ d V

Vamos definir a carga d q

d q = C / r 2 ⋅ 4 π r 2 d r

d q = C 4 π d r

Vamos integrar de zero a R

∫ d q = ∫ 0 R C 4 π d r

Q = C 4 π R

Assim, podemos isolar a constante

C = Q 4 π R

Passo 2

Pela Lei de Gauss

A E = Q i n t ε 0

Para r ≤ R

No Passo 1 determinamos a carga

Q i n t = ∫ d q

∫ d q = C 4 π r

Vamos substituir a constante pelo resultado do item (a)

Q i n t = Q 4 π R 4 π r

Q i n t = Q r R

Podemos substituir isto na Lei de Gauss

A E = Q r ε 0 R

Substituindo a área

4 π r 2 E = Q r ε 0 R

Isolando o campo elétrico

E = Q ε 0 R 4 π r

E = 1 4 π ε 0 ⋅ Q R r r ^

Passo 3

Para r = R basta substituirmos na equação anterior

E = 1 4 π ε 0 ⋅ Q R r r ^

E = 1 4 π ε 0 ⋅ Q R 2 r ^

Esta é exatamente a equação utilizada para calcular o campo elétrico em uma esfera quando r ≥ R

Resposta

a.

C = Q 4 π R

b.

E = 1 4 π ε 0 ⋅ Q R r r ^

c.

E = 1 4 π ε 0 ⋅ Q R 2 r ^

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Uma distribuição de carga esfericamente simétrica produz o campo elétrico E → = 5000r 2v e r s o r r N C , onde r está em m.Qual é a intensidade do campo elétrico em r 10 cm?Quanto vale o fluxo elétri
Os três planos de carga paralelos mostrados na FIGURA P28.47 possuem, respectivamente, densidades superficiais de carga η = - 1 / 2 , η e η = - 1 / 2 . Determine os campos elétricos de E 1 a E 4 nas r
Um cilindro carregado muito longo, de raio R, possui uma densidade linear de carga λ . Determine o campo elétrico criado pelo cilindro (a) fora do mesmo, para rR , e (b) dentro do cilindro, para rR .
Uma bola esférica carregada tem um raio R e uma carga total Q. A intensidade do campo elétrico no interior da bola (para r ≤ R ) é dada pela expressão E r = E m a x r 4 R 4 .a. Qual é o E m a x em fun
Um fio reto, longo e fino, com densidade linear de carga λ , passa pelo centro de um cilindro metálico fino e oco, de raio R. O cilindro possui uma densidade de carga linear líquida igual a 2 λ . Cons