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Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 3.1 - Ex. 34

Estime a rapidez em milhas por hora com a qual a água sai de uma mangueira de jardim usando suas observações passadas de como a água sai de uma mangueira e o seu conhecimento do movimento de projéteis.

Passo 1

Nós sabemos que o alcance de um movimento como esse é máximo quando o ângulo que a velocidade inicial forma com a horizontal é 45 ° . Nesse caso é razoável estimar um alcance D = 4,0   m .

Precisamos encontrar uma relação entre o alcance da mangueira e a sua velocidade inicial, mas com uma complicação extra: não podemos considerar que a água atinge o solo na mesma altura em que sai da mangueira.

Supondo que você segure a mangueira na altura da cintura, podemos considerar uma altura inicial y 0 = 1,0   m , e a água aterrissa em uma altura y = 0 .

Vamos ver as equações que temos (considerando x 0 = 0 ):

x = v 0 x t

y = y 0 + v 0 y t - 1 2 g t 2

Passo 2

Vamos tentar eliminar t entre as duas equações para encontrar uma relação entre x e y . Podemos reescrever v 0 x e v 0 y em termos da velocidade inicial v 0 :

x = ( v 0 cos ⁡ θ ) t

y = y 0 + v 0 sen ⁡ θ t - 1 2 g t 2

Isolando t na primeira equação e substituindo na segunda, encontramos o seguinte:

y = y 0 + v 0 sen ⁡ θ v 0 cos ⁡ θ x - 1 2 g x 2 v 0 2 cos 2 ⁡ θ

y = y 0 + tan ⁡ θ x - 1 2 g x 2 v 0 2 cos 2 ⁡ θ

Passo 3

Vamos tentar eliminar t entre as duas equações para encontrar uma relação entre x e y .

E queremos estimar a velocidade v 0 , sabendo que essa equação satisfaz o caso em que x = 4,0   m e y = 0 , que é o momento em que a água toca o chão.

0 = y 0 + tan ⁡ θ D - g 2 v 0 2 cos 2 ⁡ θ D 2

Substituindo os valores numéricos:

0 = 1,0 + tan ⁡ 45 °   4,0 - 9,81 2 v 0 2 cos 2 ⁡ 45 ° 4,0 2

0 = 1,0 + 4,0 - 157 v 0 2

v 0 2 = 157 5 = 31,4

v 0 = 5,603   m / s

Mas queremos a resposta em milhas por hora, então:

v 0 = 12,5   m i / h

Resposta

A rapidez é aproximadamente v 0 = 12,5   m i / h .

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