Experiência da gota de óleo de Millikan. A carga do elétron foi determinada pelo físico americano Robert Millikan, entre 1909 e 1913. Em sua experiência, o óleo era pulverizado e formavam-se minúsculas gotas de óleo (com diâmetros de ordem de ) no espaço entre duas placas paralelas horizontais, separadas por uma distância d. Uma diferença de potencial é mantida entre as placas, criando entre elas um campo elétrico orientado de cima para baixo. Devido ao atrito ou à ionização do ar por raios X ou radioatividade, algumas gotas adquirem cargas negativas. As gotas são observadas com um microscópio. (a) Mostre que uma gota de óleo de raio r em repouso entre as placas deverá permanecer em repouso quando o módulo de sua carga for dado por

em que é a densidade do óleo. (Despreze a força de empuxo do ar). Ajustando o valor de a fim de manter a gota em repouso, podemos calcular a carga da gota, desde que seu raio seja conhecido. (b) As gotas da experiência de Millikan eram muito pequenas e seus raios não podiam ser medidos diretamente. Em vez disso, Millikan determinou r desligando o campo elétrico e medindo a velocidade terminal da gota à medida que elas caíam. ( Discutimos o conceito de velocidade terminal na seção 5.3). A força viscosa F sobre uma esfera de raio r que se desloca com velocidade em um fluido é dada pela lei de Stokes, Equação (14.27), . Quando a gota atinge velocidade , a força viscosa deve ser igual ao peso da gota. Mostre que o módulo da carga da gota é dado por

Dentro dos limites dos erros experimentais, as cargas de todas as milhares de gotas de Millikan e seus colaboradores mediram eram iguais a um pequeno múltiplo inteiro de uma carga fundamental , ou seja, eles obtiveram valores iguais a e assim por diante, porém não encontraram valores tais como ou . Uma gota com carga adquiriu um elétron extra; com uma carga ela adquiriu dois elétrons, e assim por diante. (c) Verifica-se que uma gota de óleo carregada em um dispositivo de Millikan cai 1,0 mm com velocidade constante de 39,3 s, quando . A mesma gota pode ser mantida em repouso entre duas placas separadas por 1,0 mm, quando . Quantos elétrons em excesso a gota possui e qual é seu raio? A viscosidade do ar é e a densidade do óleo é igual a .

Sabendo mais sobre o experimento, podemos agora traduzir o que foi escrito nas expressões que conhecemos! Vamos identificar o volume da gota que é dado por:

Também podemos reescrever algumas expressões conhecidas, para chegar onde o problema deseja. Reescrevendo a força peso, podemos chegar na seguinte expressão:

, já que,

Igualando a , fornecerá a seguinte expressão:

Agora é só isolar o , passando tudo que está a sua direita dividindo, multiplicando para o outro lado, e tudo que está multiplicando dividindo. Assim teremos:

letra b)

Para fazer a letra b, devemos igualar a força dada pelo empuxo da gota, com a força de arrasto ou Força de viscosidade dada pela lei de Stokes. Essa força surge devido ao desligamento do Campo elétrico, assim a gota em certo momento adquire um estado de repouso, e a velocidade no instante um pouco antes do estado de repouso é dado por uma velocidade terminal .

Vamos equacionar o que foi escrito no passo 5. A força de empuxo é dada por:

Com essa equação podemos igualar a força de viscosidade dada pela Lei de Stokes para uma esfera. A lei de Stokes é dada por:

Igualando os dois e isolando o termo dado em , podemos achá-lo! Assim:

e com isso podemos obter o valor de :

Usando o valor de para substituir na parte da letra (a), podemos chegar no valor final para . Bem, agora é só substituirmos e fazer a álgebra. Ficaremos com:

Com isso obteremos o resultado, que será dado por:

Na letra c tudo que ele quer são os valores numéricos dados pelos seguintes valores:

para

Assim com esses valores e as equações nos passos anteriores podemos achar os elétrons em excesso, dado pela carga e . Assim, vamos calcular primeiro o :

Pondo os valores, o resultado será:

Como a carga do podemos reescrever como:

Assim a gota obtém um excesso de (elétrons).

O raio pode ser obtido também pela expressão dos passos anteriores, assim:

Assim o valor de será:

.