A figura mostra duas fontes sonoras pontuais isotrópicas, F 1 e F 2 . As fontes, que emitem ondas em fase, de comprimento de onda λ = 0,50   m , estão separadas por uma distância D = 1,75   m . Se um detector é deslocado ao longo de uma grande circunferência cujo raio é o ponto médio entre as fontes, em quantos pontos as ondas chegam ao detector (a) exatamente em fase e (b) com fases opostas?

Passo 1

Belezera galerinha, vamos recapitular os pontos principais: o que precisa acontecer para as ondas estarem exatamente em fase?

Mas calma ai que eu te explico meu patrão, a diferença de fase tem que ser um múltiplo inteiro de 2 π , tal que:

ϕ = n ( 2 π )

Com n = 0 ,   1 ,   2 ,   …

E para as ondas estarem em fases opostas? A diferença de fase tem que ser um múltiplo ímpar de π , tal que.

ϕ = 2 n + 1 π

Com n = 0 ,   1 ,   2 ,   …

E vamos lembrar que a fórmula para a diferença de fase é:

ϕ = Δ L λ ( 2 π )

Onde Δ L é a diferença de percurso das duas ondas até o ponto que estamos analisando.

Passo 2

Belejóia galera, mas agora o enunciado parece ter um erro. Ele fala pra gente em um círculo cujo “raio é o ponto médio entre as fontes”. Mas um raio não é um ponto, é uma distância.

Mas sem pânico galerinha, vamos então considerar que o centro da circunferência é o ponto médio entre as fontes, aí tudo passa a fazer sentido:

Ok, então pelas fórmulas que acabamos de relembrar, as ondas vão estar “exatamente em fase” nos pontos que atenderem essa relação aqui:

Δ L λ 2 π = n ( 2 π )

Ou seja:

Δ L λ = n

E vão estar em fases opostas nos pontos que atenderem a essa relação aqui:

Δ L λ 2 π = 2 n + 1 π

Ou seja:

Δ L λ = n + 1 2

Onde, nos dois casos, n = 0 ,   1 ,   2 ,   3 ,   …

Passo 3

Beleza, agora pense nos pontos da circunferência que estão sobre a reta que liga as fontes.

Bom, em qualquer um desses pontos, a diferença de percurso Δ L vai ser D (distância entre as fontes). Então:

Δ L λ = D λ

Δ L λ = 1,75 0,50

Δ L λ = 3,5

Opa, isso é simplesmente o caso n = 3 da fórmula das fases opostas:

Δ L λ = 3 + 1 2

Δ L λ = 3,5

Mas como tem dois pontos da circunferência sobre essa reta, vamos dizer dizer que o ponto da esquerda é positivo:

Δ L λ = 3,5

E o da direita é negativo:

Δ L λ = - 3,5

Passo 4

Show de bolinhas, isso já é praticamente a resposta. Como o caso onde os pontos estão sobre a reta que liga as fontes já é o valor máximo da diferença Δ L , n = 3 vai ser o valor máximo que o n atinge.

Agora é só contar os pontos!

Por exemplo, vamos percorrer o caminho entre um ponto vermelho e o outro passando pela parte de cima do círculo:

- 2,5   ;   - 1,5   ;   - 0,5   ;   + 0,5   ;   + 1,5   ;   + 2,5    

Aí já temos 6 pontos, agora passando pela parte de baixo:

- 2,5   ;   - 1,5   ;   - 0,5   ;   + 0,5   ;   + 1,5   ;   + 2,5    

Mais 6 pontos, agora considerando os dois pontos iniciais:

+ 3,5   e - 3,5

Temos um total de 6 + 6 + 2 = 14 pontos onde as ondas tem fases opostas.

Passo 5

(a) Agora é só usar essa lógica pra achar os pontos com fases iguais. n = 3 é o valor máximo.

Lembrando que a fórmula era essa aqui:

Δ L λ = n

Quando n = 3 , a razão fica:

Δ L λ = 3

Como são dois pontos opostos, seria: - 3 e 3 . Pela mesma explicação do passo 3

E assim como antes vamos ter os seguintes pontos, para n = 0 ,   1 ,   2   e   3 :

Pela parte de cima do círculo:

- 3,0   ;   - 2,0 ;   - 1,0   ; 0,0   ;   + 1,0   ;   + 2,0   ;   + 3,0

E pela parte de baixo:

- 3,0   ;   - 2,0   ;   - 1,0   ; 0,0   ;   + 1,0   ;   + 2,0   ;   + 3,0

Totalizando 14 pontos em que as ondas estão exatamente em fase.

Passo 6

E o caso da letra (b) já foi até calculado nos passos 3 e 4: também temos 14 pontos onde as ondas tem fases opostas!

Resposta

(a) 14 pontos.

(b) 14 pontos.

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