A figura mostra duas fontes sonoras pontuais isotrópicas, e . As fontes, que emitem ondas em fase, de comprimento de onda , estão separadas por uma distância . Se um detector é deslocado ao longo de uma grande circunferência cujo raio é o ponto médio entre as fontes, em quantos pontos as ondas chegam ao detector (a) exatamente em fase e (b) com fases opostas?

Belejóia galera, mas agora o enunciado parece ter um erro. Ele fala pra gente em um círculo cujo “raio é o ponto médio entre as fontes”. Mas um raio não é um ponto, é uma distância.

Mas sem pânico galerinha, vamos então considerar que o centro da circunferência é o ponto médio entre as fontes, aí tudo passa a fazer sentido:

Ok, então pelas fórmulas que acabamos de relembrar, as ondas vão estar “exatamente em fase” nos pontos que atenderem essa relação aqui:

Ou seja:

E vão estar em fases opostas nos pontos que atenderem a essa relação aqui:

Ou seja:

Onde, nos dois casos,

Beleza, agora pense nos pontos da circunferência que estão sobre a reta que liga as fontes.

Bom, em qualquer um desses pontos, a diferença de percurso vai ser (distância entre as fontes). Então:

Opa, isso é simplesmente o caso da fórmula das fases opostas:

Mas como tem dois pontos da circunferência sobre essa reta, vamos dizer dizer que o ponto da esquerda é positivo:

E o da direita é negativo:

Show de bolinhas, isso já é praticamente a resposta. Como o caso onde os pontos estão sobre a reta que liga as fontes já é o valor máximo da diferença , vai ser o valor máximo que o atinge.

Agora é só contar os pontos!

Por exemplo, vamos percorrer o caminho entre um ponto vermelho e o outro passando pela parte de cima do círculo:

Aí já temos pontos, agora passando pela parte de baixo:

Mais pontos, agora considerando os dois pontos iniciais:

Temos um total de pontos onde as ondas tem fases opostas.

(a) Agora é só usar essa lógica pra achar os pontos com fases iguais. é o valor máximo.

Lembrando que a fórmula era essa aqui:

Quando , a razão fica:

Como são dois pontos opostos, seria: e . Pela mesma explicação do passo 3

E assim como antes vamos ter os seguintes pontos, para e:

Pela parte de cima do círculo:

E pela parte de baixo:

Totalizando pontos em que as ondas estão exatamente em fase.

E o caso da letra (b) já foi até calculado nos passos 3 e 4: também temos pontos onde as ondas tem fases opostas!