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Enunciado

Física - Randall D. Knight - Eletricidade e Magnetismo- Ed: 2º - Capítulo 29.Exercícios e Problemas - Ex. 69

A FIGURA P29.69 mostra um bastão fino de comprimento L e com uma carga Q. Encontre uma expressão para o potencial elétrico criado por ele a uma distância x do centro do bastão em um ponto do eixo x.

Passo 1

Vem comigo para a gente entender melhor esse exercício

Vamos dizer que este ponto está a uma distância d da origem. Se a carga estiver em x = 1 , então a distância do ponto a carga é

d - 1

Podemos generalizar, à distância de um ponto no bastão até o ponto P é

d - x

Vamos pegar um ponto neste bastão, o potencial elétrico que este ponto gera no ponto P é

V = 1 4 π ε 0 q d - x

Passo 2

A carga depende da densidade de carga linear

q = λ x '

V = 1 4 π ε 0 λ x ' d - x

A densidade de carga no bastão vale

λ = Q L

Substituindo

V = 1 4 π ε 0 Q x ' L d - x

Passo 3

Pessoal, metade do bastão está atrás da origem, e a outra metade a frente.

Até o momento fizemos uma descrição para um único ponto, porém, a carga está ao longo de todo o bastão. Então podemos integrar dessa forma

V = Q L 4 π ε 0   ∫ - L / 2 L / 2   d x d - x

Como a derivada de l n x é

l n x ' = 1 x

Temos

V = Q L 4 π ε 0   - l n d - x - L / 2 L / 2

E ao simplificar, teremos

V = Q L 4 π ε 0   l n d + L / 2 d - L / 2

Como d é a distância até P, podemos substituir

V = Q L 4 π ε 0   l n x + L / 2 x - L / 2

Resposta

V = Q L 4 π ε 0   l n x + L / 2 x - L / 2

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