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Enunciado

Física - Fundamentos de Física Volume 3 - Eletromagnetismo - 8ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 8º - Capítulo 24.10 - Ex. 40

A barra fina de plástico da figura abaixo tem um comprimento L = 10,0 cm e uma densidade linear de cargas não uniforme λ = c x , em que c = 49,9 pC/m. (a) Com V = 0 no infinito, determine o potencial elétrico no ponto P 2 , situado no eixo y, em y = D = 3,56 cm. (b) Determine a componente do campo elétrico E y no ponto P 2 . (c) Por que a componente E x do campo em P 2 não pode ser calculada usando o resultado do item (a)?

Passo 1

Letra (a)

Primeiro a gente precisa pegar um pedacinho da barra e ver a influência dele no potencial:

O potencial devido ao pedacinho é:

d V = K d q x 2 + y 2 = K λ d x x 2 + y 2 = K ( c x ) x 2 + y 2 d x

Agora a gente integra:

V = ∫ b a r r a d V = ∫ 0 L K c x x 2 + y 2 d x = K c ∫ 0 L x x 2 + y 2 d x

Fazendo x 2 + y 2 = u 2 , a gente chega em:

V = K c x 2 + y 2 ​ 0 L

V = K c L 2 + y 2 - y

Passo 2

Substitua os valores:

V = 8,99 × 10 9 N m 2 C 2 49,9 × 10 - 12 C m 2 0,100   m 2 + 0,0356   m 2 - 0,0356   m

V = 31,6   m V

Passo 3

Letra (b)

Precisamos derivar o potencial em relação a y. Que sorte que calculamos o potencial:

E y = - ∂ V ∂ y

E y = - K c d d y L 2 + y 2 - y = - K c y L 2 + y 2 - 1

E y = K c 1 - y L 2 + y 2

Passo 4

Substitua os valores:

E y = 8,99 × 10 9   N m 2 / C 2 49,9 × 10 - 12   C / m 2 1 - 0,0356   m 0,100   m 2 + 0,0356   m 2

E y = 0,298   N / C

Passo 5

Letra (c)

Para a gente calcular o campo em x, a gente tem que calcular o potencial e tirar a derivada parcial em x. Só que a gente não pode particularizar o valor de x para fazer isso. Percebeu que do jeito que a gente fez a gente particularizou o valor de x? A gente supôs que o ponto estava no eixo y. Quando a gente fez isso a gente fez x = 0, ou seja, particularizamos o valor de x.

Resposta

Letra (a): V = 31,6   m V

Letra (b): E y = 0,298   N / C

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