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Enunciado

Física - Randall D. Knight- Ed: 2º - Capítulo 8.Questões Conceituais - Ex. 5

5. A FIGURA Q8.5 mostra duas bolas de

mesma massa que se movem em círculos

verticais. A tensão no barbante A

será maior, menor ou igual à tensão no

barbante B se, no topo do círculo, as bolas

se movem (a) com a mesma rapidez

e (b) com a mesma velocidade angular?

Passo 1

a)

Então pessoal, o exercício ta falando que as bolinhas se movem com a mesma rapidez, ou seja com a mesma velocidade tangencial no topo. E como a gente já tem um valor para o raio podemos calcular a aceleração centripeta com essa fórmula:

a c = v 2 r

Vamos chamar a velocidade das bolinhas de v mesmo.

Caso A:

a c A = v 2 r

Caso B:

a c B = v 2 2 r

Passo 2

A gente sabe pela segunda lei de Newton que

F = m ⋅ a

Vamos calcular a força centripeta de cada um dos casos.

Caso A:

F c A = m ⋅ a c A

F c A = m ⋅ v 2 r

Caso B:

F c B = m ⋅ a c B

F c B = m ⋅ v 2 2 r

A força centripeta é a resultante, quando somamos todas as forças que atuam sobre a bolinha obtemos ela. Então a soma da força gravitacional com a tensão do barbante resulta na nossa força centripeta, pois no ponto mais alto as duas estão apontando para o centro da circunferência.

Passo 3

Vamos fazer essa soma.

Caso A:

F G A + T A = F c A

m g + T A = m ⋅ v 2 r

Vamos isolar a tensão:

T A = m ⋅ v 2 r - m g

T A = m ⋅ v 2 r - g

Caso B:

F G B + T B = F c B

m g + T B = m ⋅ v 2 2 r

Vamos isolar a tensão:

T B = m ⋅ v 2 2 r - m g

T B = m ⋅ v 2 2 r - g

Com isso podemos ver que:

T A > T B

Passo 4

b)

Agora precisamos fazer a mesma coisa de antes, só que com as velocidades angulares iguais. Temos essa relação aqui do movimento circular:

v = ω ⋅ r

Vamos chamar as velocidades angulares deles de ω e tentar descobrir uma relação entre suas velocidades tangenciais, pois precisamos delas para decobrir a aceleração centripeta.

Caso A:

v A = ω ⋅ r

Caso B:

v B = ω ⋅ 2 r

Ou seja

v B = 2 v A

Vamos para as acelerações centrípetas.

Caso A:

a c A = v A 2 r

Caso B:

a c B = v B 2 2 r

Sabemos que v B = 2 v A , então

a c B = 2 v A 2 2 r

a c B = 2 v A 2 r

Passo 5

Pare terminar vamos calcular e comparar as forças.

Caso A:

F c A = m ⋅ a c A

F c A = m ⋅ v A 2 r

Caso B:

F c B = m ⋅ a c B

F c B = m ⋅ 2 v A 2 r

Vamos fazer a mesma soma das forças para descobrir qual a maior tensão.

Caso A:

F G A + T A = F c A

m g + T A = m ⋅ v A 2 r

Vamos isolar a tensão:

T A = m ⋅ v A 2 r - m g

T A = m ⋅ v A 2 r - g

Caso B:

F G B + T B = F c B

m g + T B = m ⋅ 2 v A 2 r

Vamos isolar a tensão:

T B = m ⋅ 2 v A 2 r - m g

T B = m ⋅ 2 v A 2 r - g

Com isso podemos ver que:

T B > T A

Resposta

a)

T A > T B

b)

T B > T A

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