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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 4- Ed: 12º - Capítulo 42.Exercícios - Ex. 13

A frequência de vibração para a molécula de H F é igual a 1,24 × 10 14 H z . O átomo de hidrogênio possui massa igual a 1,67 × 10 - 27 k g e a massa do átomo de flúor é igual a 3,5 × 10 - 26 k g .

  1. Qual é a constante da mola k ' para a força entre os átomos?
  2. Qual é a diferença de energia entre dois níveis de vibração adjacentes em joules e em elétrons-volt?
  3. Qual é o comprimento de onda de um fóton cuja energia é igual à diferença de energia entre dois níveis de vibração adjacentes? Em qual região do espectro eletromagnético esse fóton se encontra?

Passo 1

Letra a)

Os dados que o problema nos dá são os seguintes:

f = 1,24 × 10 14 H z

m H = 1,67 × 10 - 27 k g

m F = 3,5 × 10 - 26 k g

E nos pede na letra (a) a constante k ' . Bom, lá do livro texto, temos uma expressão para a frequência de vibração em função da constante k ' e da massa de rotação da molécula m r e é assim ó:

f = 1 2 π k ' m r    

Ou isolando o que queremos fica:

k ' m r = f . 2 π

k ' m r = 2 π f 2

k ' = 2 π f 2 m r

A frequência nós já temos e queremos k ' , então o que precisamos encontrar é a massa m r . Mas também temos uma equação para ela! E é essa aqui ó:

m r = m 1 m 2 m 1 + m 2

E vamos chamar de m 1 = m H e m 2 = m F . Agora ficou mamão com açúcar: substituímos as massas dadas nessa última expressão aí em cima, achamos m r . Depois voltamos pra expressão da constante da mola, substituímos tudo e pronto! Vamos lá?

m r = m H m F m H + m F = 1,67 × 10 - 27 . 3,5 × 10 - 26 1,67 × 10 - 27 + 3,5 × 10 - 26 = 1,586 × 10 - 27 k g

E agora a constante k ' :

k ' = 1,586 × 10 - 27 2 π . 1,24 × 10 14 2 = 963 N / m

Passo 2

Letra b)

A energia de vibração tem a ver com o número quântico n , certo? E a fórmula é essa aqui:

E = n + 1 2 ℏ ω

Ou em termos apenas da frequência e da constante de Planck é:

E = n + 1 2 h f

E com níveis de energia consecutivos, por exemplo, n i = n e n f = n + 1 a variação de energia fica independente do número quântico n , saca só:

Δ E = E f - E i = n + 1 + 1 2 h f - n + 1 2 h f = 1 h f = h f

Então ela só depende da frequência de vibração! E essa frequência o problema nos deu!

Sendo assim, usando a frequência dada e a constante de Planck em J . s teremos a variação de energia em joules:

Δ E = h f = 6,62 × 10 - 34 . 1,24 × 10 14 = 8,22 × 10 - 20 J

E usando a constante de Planck em e V . s teremos a energia em elétron-volt:

Δ E = h f = 4,136 × 10 - 15 . 1,24 × 10 14 = 0,513 e V

Passo 3

Letra c)

O fóton emitido de energia Δ E pode ser escrito em termos do comprimento de onda, já que esse fóton é uma onda eletromagnética e se move na velocidade da luz c :

Δ E = h c λ

E a energia que encontramos é igual a h f , certo? Então podemos ter a seguinte expressão para o comprimento de onda:

h f = h c λ

λ = c f

λ = 3 × 10 8 1,24 × 10 14 = 2,42 × 10 - 6 m = 2,42 μ m

Resposta

a )   963 N / m

b )   8,22 × 10 - 20 J ; 0,513 e V

c ) 2,42 μ m .

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