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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 19.Exercício - Ex. 36

Um jogador de basquete faz a bola bater no chão, comprimindo-a a 80,0 % de seu volume original. O ar (suponha que o ar seja essencialmente um gás) dentro da bola está originalmente à temperatura de 20 ° C e a uma pressão de 2,0   a t m . O diâmetro da bola pe 23,9   c m . a) A que temperatura chega o ar na bola em sua compressão máxima? b) De quanto é a variação da energia interna do ar entre o estado original da bola e sua compressão máxima?

Passo 1

Fala povo, tudo certo? Vamos começar. O enunciado dá pra gente um bando de dados, o que é ótimo. A primeira consideração que vamos fazer aqui que vai ajudar na questão toda é que o processo é uma compressão adiabática. Sendo assim, pra resolver a letra a , é válido a gente puxar a fórmula 19.22 :

T 1 V 1 γ - 1 = T 2 V 2 γ - 1

E mexendo nela:

T 2 = T 1 V 1 V 2 γ - 1

Nessa fórmula, vamos considerar:

  • 2 Momento Final
  • 1 Momento Inicial

E vamos nos preocupar em preencher o que falta, ok? Olha só, se inicialmente o volume era V 1 e depois esse volume diminuiu em 20 % (ou seja, ficou com 80 % do volume inicial), podemos relacionar o volume final V 2 com V 1 por:

V 2 = 0,8   V 1

O enunciado diz pra gente também a temperatura inicial T 1 = 20 o C = 293,15   K e apesar de não dizer quem é γ , sendo uma constante que depende do gás, pro ar, vamos ter:

γ = 1,40

Com isso tudo em mãos, ficamos com:

T 2 = 293,15 ∙ V 1 0,8   V 1 1,4 - 1

T 2 = 293,15 ∙ 1 0,8 0,4

T 2 = 293,15 ∙ 1,25 0,4

T 2 ≅ 293,15 ∙ 1,0933

T 2 ≅ 320,52   K

E bem, é isso ai hahaha Letra a fechada. Se quiser achar essa temperatura em Celsius basta subtrair 273,15 :?

T 2 ≅ 47,37   o C

Passo 2

Beleza, agora pra letra b , vamos pensar na fórmula da variação de energia interna.

∆ U = Q - W

Como a primeira consideração que fizemos lá no início era de que o processo é adiabático, vamos ter que a temperatura do ar dentro da bola muda unica e exclusivamente devido ao trabalho realizado sobre a bola (compressão). Como não tem transferência de calor ( Q = 0 ), a energia interna fica:

∆ U = - W

Considerando ainda a fórmula 19.25 do nosso amado livro, um processo adiabático sob um gás ideal tem a seguinte expressão pro trabalho:

W = n C V T 1 - T 2

∆ U = n C V T 2 - T 1

Onde:

  • n Número de mols
  • C V Capacidade calorífica a volume constante
  • T 2 Temperatura final
  • T 1 Temperatura inicial

Não sabemos a quantidade de mols né? Mas sabemos que esse número não muda e que o gás é ideal, logo:

P 1 V 1 = n R T 1

Como a bola é, no instante inicial ( 1 ), uma esfera perfeita, pela fórmula do volume de uma esfera, temos:

P 1 ∙ 4 π R 3 3 = n R T 1

Como o enunciado dá o diâmetro da bola e não o raio:

P 1 ∙ 4 π D 2 3 3 = n R T 1

P 1 ∙ 4 π D 3 3 ∙ 8 = n R T 1

P 1 ∙ π D 3 3 ∙ 2 = n R T 1

P 1   π D 3 6 = n R T 1

n = P 1   π D 3 6 R T 1

Substituindo na fórmula do trabalho:

W = n C V T 1 - T 2

W = P 1 ∙   π ∙ D 3 ∙ C V ∙ T 1 - T 2 6 ∙ R ∙ T 1

∆ U = P 1 ∙   π ∙ D 3 ∙ C V ∙ T 2 - T 1 6 ∙ R ∙ T 1

E agora, é só substituir! O enunciado já deu todos esses valores pra gente. Os únicos que não temos ainda, são constantes:

  • C V = 29,76   J m o l ⋅ K
  • R =   8,314 m 3 P a m o l ⋅ K

Do enunciado:

  • P 1 = 2   a t m = 202650   P a
  • D = 23,9   c m = 0,239   m
  • T 1 = 293,15   K
  • T 2 = 320,52   K

Bora lá então!

∆ U = 202650   P a ∙   π ∙ 0,239   m 3 ∙ 29,76   J m o l ⋅ K ∙ 320,52   K - 293,15   K 6 ∙ 8,314 m 3 P a m o l ⋅ K ∙ 293,15   K

∆ U ≅ 636644   P a ∙ 0,0137   m 3 ∙ 29,76   J m o l ⋅ K ∙ 27,37   K 6 ∙ 8,314 m 3 P a m o l ⋅ K ∙ 293,15   K

∆ U ≅   7104360   J ∙ m 3 ∙ P a m o l 14624 m 3 P a m o l

∆ U ≅ 485,80   J

Terminamos depois desse contão!

Resposta

  1. T 2 ≅ 320,52   K = 47,37   o C
  2. ∆ U ≅ 485,80   J
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