A largura de linha relativa a meia altura Δ ω d / ω de uma curva de ressonância como as que aparecem na Fig. 31-16 é a largura de linha na metade do valor máximo de I dividida pela frequência angular de ressonância. Mostre que Δ ω d ω = R 3 C L 1 / 2 , onde ω é a frequência angular de ressonância.

Passo 1

A questão define a largura relativa a meia altura Δ ω d / ω de uma curva de ressonância em que Δ ω d é a diferença entre as duas frequências em que I = I m a x / 2 . Para resolver esse problema, temos que determinar essas frequências!

Sabemos que a amplitude da corrente é dada por

I = ε R 2 + χ L - χ C 2

O máximo ocorre com χ L = χ C :

I m a x = ε R

Como queremos que I = I m a x / 2 , temos que

ε R 2 + χ L - χ C 2 = ε 2 R

Assim,

R 2 + χ L - χ C 2 = 2 R

Passo 2

Elevando a equação ao quadrado:

R 2 + χ L - χ C 2 = 4 R 2 ⇒ χ L - χ C 2 = 3 R 2

Tirando a raiz quadrada:

χ L - χ C = ± R 3

Não esqueça do sinal ± porque ele será crucial! Note que no fundo temos duas equações:

χ L - χ C = R 3             e             χ L - χ C = - R 3

Passo 3

Agora, note que

χ C = 1 ω C           e             χ L = ω L

Assim,

ω L - 1 ω C = ± R 3

Multiplicando ambos os lados por ω C :

L C ω 2 - 1 = ± R C 3   ω ⇒ L C   ω 2 ± R C 3   ω - 1 = 0

Temos então duas equações de segundo grau:

L C   ω 2 + R C 3   ω - 1 = 0               e                 L C   ω 2 - R C 3   ω - 1 = 0

Passo 4

Resolvendo a primeira equação, obtemos

Δ = 3 R 2 C 2 + 4 L C

Assim,

ω = - R C 3 ± 3 R 2 C 2 + 4 L C 2 L C

Como estamos interessados apenas em soluções positivas, vamos tomar

ω 1 = - R C 3 + 3 R 2 C 2 + 4 L C 2 L C

Para a segunda equação, o discriminante será o mesmo e a solução será

ω = R C 3 ± 3 R 2 C 2 + 4 L C 2 L C

Como queremos a solução positiva:

ω 2 = R C 3 + 3 R 2 C 2 + 4 L C 2 L C

Assim, a diferença de frequência será

Δ ω d = ω 2 - ω 1 = R C 3 + 3 R 2 C 2 + 4 L C 2 L C - - R C 3 + 3 R 2 C 2 + 4 L C 2 L C

Assim,

Δ ω d = 2 R C 3 2 L C = R L 3

Passo 5

Sabemos que a frequência de ressonância é dada por

ω = 1 L C

Assim,

Δ ω d ω = R L 3 ⋅ L C = R 3 C L

Resposta

Demonstração.

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