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Enunciado

Física - Tipler - Vol 2- Ed: 6º - Capítulo 23.1 - Ex. 18

A magnitude do campo elétrico na proximidade da superfície da Terra é de aproximadamente 300   V / m . (a) Estime o valor da densidade de carga na superfície da Terra. (b) Estime o valor da carga total na Terra. (c) Qual é o valor do potencial elétrico na superfície da Terra. (Considere que o potencial seja zero no infinito). (d) Se a energia potencial eletrostática total na Terra pudesse ser aproveitada e convertida em energia elétrica com uma eficiência razoável, por quanto tempo ela seria usada para manter o consumo doméstico nos Estados Unidos? Considere que o consumo doméstico médio dos americanos seja de aproximadamente 500   k W ⋅ h de energia elétrica por mês.

Passo 1

Fala galera. Esse exercício é bem longuinho, né? Vamos fazer item por item com calma... :D

Passo 2

  1. Bom, a gente quer calcular a densidade de carga na superfície da Terra. Temos o valor do campo elétrico nas proximidades da superfície. Assim, podemos aplicar

    2. E = σ ε 0 ⟹ σ = E ε 0

    Substituindo os dados:

    σ = 300 8,85 × 10 - 12 σ = 2,66   n C / m 2

  2. Tendo a densidade superficial de cargas (suposta constante) basta multiplicar pela área total para obtermos a carga total. Se supormos que a Terra possui raio R = 6370   k m , então A = 4 π R 2 . A carga total será:

    3. Q = σ A = 4 π σ R 2 Q = 4 π 2,66 × 10 - 9 6370 × 10 3 2 Q = 1,35 × 10 6   C

    Passo 3

  3. O potencial elétrico na superfície pode ser calculado por

    4. V = k Q R = 9 × 10 9 1,35 × 10 6 6370 × 10 3 V = 1,91 × 10 9   V

  4. Nesse item temos que fazer várias suposições.

Primeiramente, vamos começar calculando qual seria a energia total possível:

E m á x i m a = 1 2 Q V

Ok... Agora, vamos supor que a eficiência seja de 1 3 (isso é bastante razoável, concorda?), de modo que a energia disponível será:

E d i s p o n í v e l = 1 3 1 2 Q V = 1 6 Q V

Supondo que haja 80 milhões de ambientes domésticos nos Estados Unidos, segue que

Δ t = E d i s p o n í v e l P t o t a l = 1 6 Q V N c a s a s × P Substituindo os dados, temos

Δ t = 1,35 × 10 6   C 1,91 × 10 9   V 6 500 k h W × 3600 s h c a s a s × m e s × 1   m e s 30   d i a s × 1   d i a 24   h 80 × 10 6   c a s a s Δ t ≈ 2,0   h

Resposta

O tempo aproximado é de 2,0   h o r a s de funcionamento!

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