Enunciado
Física - Young and Freedman - Vol 3- Ed: 12º - Capítulo 22.Exercício - Ex. 29
Um condutor cilíndrico infinito possui raio e uma densidade superficial de carga . Com base em e em , qual é a carga por unidade de comprimento para o cilindro? Em termos de , qual é o módulo do campo elétrico produzido pelo cilindro carregado a uma disância do seu eixo? Expresse o resultado do item em termos de e mostre que o campo elétrico para fora do cilindro se comporta como se toda carga elétrica do cilindro estivesse concentrada em seu eixo. Compare suas respostas com o resultado obtido para um fio carregado no Exemplo (Seção ).
Passo 1
O primeiro passo que devemos tomar é lembrar que a densidade por unidade de comprimento é dada por:
Agora, vamos tentar relacionar esta equação com a da densidade superficial. Sabemos que:
E a área para uma superfície gaussianada cilíndrica é:
Então:
E, isolando a variável de interesse:
Passo 2
Para a próxima parte, devemos considerar uma susperfície gaussiana de raio .
Essa superfície estará contendo a carga que vem do condutor cilíndrico original que pode ser representada através de:
A partir dessa equação e da lei de Gauss, que pode ser escrita como:
É possível criar uma relação entre elas:
E, simplicando a equação, obtemos:
Passo 3
Aproveitando do último resultado, pode substituir a densidade superficial pela equação com a densidade por unidade de comprimento:
Simplificando:
Tal que essa é a equação que representa o campo elétrico de uma carga distribuída ao longo de um fio retilíneo (esse fio seria o eixo no qual a carga está concentrada).