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Enunciado

Física - Moysés - Vol. 3- Ed: 1º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 2

Um modelo clássico de uma molécula ionizada é constituído por um par de partículas fixas, ambas de carga + e , separadas por uma distância 2 a , com uma terceira partícula, de carga - e , massa m , descrevendo uma órbita circular de raio ρ em torno do eixo que liga as duas outras cargas. Obtenha

i) O campo elétrico que atua sobre a carga - e ;

ii) A relação entre o raio ρ e a frequência angular de revolução ω .

Passo 1

Fala ae!Vamos resolver essa parada!O enunciado diz que as partículas não se movem de carga + e não se movem, apenas a partículas de carga - e . Então se liga, se tirarmos uma foto do sistema, podemos encontrar a algo parecido com o que vemos na figura a seguir

Passo 2

 Como o campo elétrico é definido por

E → = q 4 π ϵ 0 r 2   r ^

No nosso caso, precisaremos somar o campo produzido pelas cargas + q .

Pela figura temos

r = a 2 + ρ 2

Utilizando a simetria, podemos perceber que os campos na direção x se anulam e na direção radial se somam.

Portanto

E x = 0

E y = 2   E   s e n θ

onde

s e n θ = ρ a 2 + ρ 2

Logo, podemos substituir o campo E e o s e n θ e escrever o campo sobre a partícula - q como

E → =   2 e 4 π ϵ 0 1 ρ 2 + a 2 ρ a 2 + ρ 2   ρ ^ = e 2 π ϵ 0 ρ ρ 2 + a 2 3 / 2     ρ ^

Se liga que esse ρ ^ indica a direção radial.

Passo 3

Se liga, lembra que quando um objeto faz um movimento circular existe uma força que aponta em direção ao centro do movimento?

Então, essa força é a Força centrípeta ( F c ).

F c = m v 2 R = m ω 2 R 2 R =   m ω 2 R

Lembra que no nosso caso R = ρ

Da uma olhada na figura.

Essa força é a força resultante.

Se lembrarmos que a força elétrica é

F e = q E

Onde q é a carga do objeto que sente o campo, no nosso caso é - e , mas estou tratando apenas do módulo, blz?! Portanto

F e = e 2 2 π ϵ 0 ρ ρ 2 + a 2 3 / 2

Igualando as forças, temos

F c = F e

m ω 2 ρ = e 2 2 π ϵ 0 ρ ρ 2 + a 2 3 / 2

Isolando ω temos

ω = e 2 2 π m ϵ 0 1 ρ 2 + a 2 3 / 2

Resposta

i )     E → =   e 2 π ϵ 0 ρ ρ 2 + a 2 3 / 2     ρ ^

i i )       ω = e 2 2 π m ϵ 0 1 ρ 2 + a 2 3 / 2

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