Mostre que o fator de qualidade de um circuito RLC de alta qualidade pode ser expresso por

onde é a energia do circuito perdida em um ciclo.

Derivando a expressão apresentada no último passo:

Mas pela equação diferencial do circuito RLC, temos que

Com isso,

Observe como isso é lindo: a taxa de variação com o tempo da energia no circuito é o negativo da potência dissipada no resistor. É a conservação da energia em toda sua glória.

Mas o problema não terminou por aqui...

Como , podemos escrever

Voltemos para relação

Já temos a expressão para carga, a corrente achamos por derivada:

Com isso,

Vamos avaliar a energia média em um período:

Para o valor médio da corrente ao quadrado, temos

Aqui vem uma aproximação importante: considerando que a variação na exponencial é lenta (o que vale no limite de amortecimento fraco), podemos tirar ela do valor esperado:

Como e , temos que

Da mesma forma,

Assim podemos escrever a energia média por ciclo:

Como , segue que

Note que para , temos que

Com isso, podemos escrever

Agora vem o pulo do gato da demonstração! Derivando a última relação, percebemos que

Com isso, a interpretação que damos para é de uma taxa de decrescimento relativo da energia média com o tempo.

Para achar a energia perdida por ciclo, basta multiplicar a taxa de variação da energia pelo período do ciclo:

O sinal de menos aparece porque a derivada é negativa e estamos interessados em é módulo. Substituindo a derivada:

Logo,

Observe que já estou escrevendo por economia de notação. Lembrando que , temos que

Por fim, no limite de amortecimento fraco, temos que

Assim,

Mas a expressão do lado esquerdo é exatamente o fator de qualidade, de modo que

Ufa, deu trabalho, mas chegamos lá!