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Enunciado

Física - Tipler - Vol 3- Ed: 6º - Capítulo 34.1 - Ex. 71

(a) Mostre que para n grande, a diferença fracionária de energia entre o estado n e o estado n + 1 para uma partícula em uma caixa unidimensional é dado aproximadamente por En +1 - En () / En ≈ 2 / n (b) Qual é a diferença percentual aproximada de energia entre os estados n1 = 1000 e n2 = 1001? (c) Comente como esse resultado está relacionado ao princípio de correspondência de Bohr.

Passo 1

(a) Então, vamos lá! Vamos pegar a equação:

E n + 1 - E n E n

E usar a relação das energias com a energia no estado fundamental:

E n = n 2 E 1

Dessa forma:

E n + 1 = n + 1 2 E 1

Substituindo:

n + 1 2 E 1 - n 2 E 1 n 2 E 1

Colocando E 1 em evidência:

E 1 n + 1 2 - n 2 n 2 E 1

Podemos simplificar E 1 :

n + 1 2 - n 2 n 2 = n 2 + 2 n + 1 - n 2 n 2

2 n + 1 n 2 = 2 n n 2 + 1 n 2

Só que, para n muuuuuito grandes 1 n 2 ≈ 0 :

2 n n 2 + 1 n 2 = 2 n n 2

∴

E n + 1 - E n E n ≈ 2 n

Passo 2

(b) Usando a mesma relação da letra anterior:

E n + 1 - E n E n ≈ 2 n

Para n = 1000 :

E 1001 - E 1000 E 1000 ≈ 2 1000

E 1001 - E 1000 E 1000 ≈ 0,2 %

Passo 3

(c) Classicamente, a energia é contínua. Só que, para valores muito grandes de n , a diferença de energia entre níveis adjacentes é infinitesimal.

Resposta

(a) Provado no passo a passo

(b) 0,2 %

(c) Para valores muito grandes de n , a diferença de energia entre níveis adjacentes é infinitesimal.

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