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Enunciado

Física - Moysés - Vol. 4 - Ed: 1º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 10

Considere um oscilador harmonico bidimensional, de energia

E = p 2 2 m + 1 2 m ω 2 r 2

onde r é a distância ao centro e ω a frequência angular do oscilador. Para órbitas circulares, aplique a condição de quantização de Bohr e obtenha os níveis de energia. Qual seria a frequência da radiação emitida numa transição entre dois niveis vizinhos?

Passo 1

Opa! Vamos lá!

A energia do sistema se conserva, para uma dada energia, podemos escrever:

p = 2 m E - 1 2 m ω 2 r 2

Então ao longo de uma orbita:

∮ p d r = ∮ 2 m E - 1 2 m ω 2 r 2   d r

Colocando 2 m E em evidencia:

∮ p d r = 2 m E ∮ 1 - 1 2 E ω 2 r 2   d r

Agora, vamos fazer uma mudança de variáveis :

m 2 E ω r = sen ⁡ θ

E então

d r = 1 ω 2 E m cos ⁡ θ d θ

Como estamos na orbita, θ ∈ [ 0,2 π ] :

∮ p d r = 2 m E 1 ω 2 E m ∫ 0 2 π 1 - sen 2 ⁡ θ cos ⁡ θ d θ

∮ p d r = 2 E ω ∫ 0 2 π cos 2 ⁡ θ d θ

Pela relação trigonométrica de soma dos arcos, podemos escrever:

cos ⁡ 2 a = 2 cos 2 ⁡ a - 2

cos 2 ⁡ a = 1 2 cos ⁡ 2 a + 1

Então

∮ p d r = 2 E ω ∫ 0 2 π 1 2 cos ⁡ 2 a + 1 d θ

∮ p d r = E ω ∫ 0 2 π cos ⁡ 2 a d θ + ∫ 0 2 π 1 d θ

∮ p d r = E ω 0 + 2 π

Bom, da mesma forma que fizemos no lado direito, vamos integrar ao longo de uma orbita o lado esquerdo. Para isso

d r = r d θ

∫ 0 2 π p r d θ = E ω 2 π

p r 2 π = E ω 2 π

p r = E ω

Mas, p = m v ;

m v r = E ω

Pela condição de Bohr, m v r = n ℏ ,então

n ℏ = E ω

Então

E = n ℏ ω

Show!!! Esses são os níveis de energia permitidos no oscilador.

Agora, vamos ver qual é a frequência da radiação emitida numa transição entre dois niveis vizinhos, para isso, temos que ver qual é a variação de energia entre esses níveis:

E n + 1 - E n

Mas já vimos qual é a energia correspondente a cada nível E = n ℏ ω ,   então:

E n + 1 - E n = n + 1 ℏ ω - n ℏ ω = ℏ ω

Logo a frequencia emitida com a transição entre níveis vizinhos é igual a frequência angular:

f = ω

Resposta

E = n ℏ ω

f = ω

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