Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 4- Ed: 12º - Capítulo 38.Exercícios - Ex. 47

(a) Vamos começar olhando para essa equação aqui:

O enunciado quer que a gente encontre o máximo dela em função de . Isso quer dizer que precisamos encontrar esse ponto aqui:

Então vamos calcular essa derivada. Mas antes vamos inventar um parâmetro para facilitar nossa vida:

Agora sim, vamos derivar usando a regra do produto. Primeiro vamos separar a função em dois fatores:

Agora aplicamos a regra do produto:

Essa primeira derivada fica assim (usando a regra da cadeia):

E a outra derivada é bem mais simples:

Agora vamos jogar tudo isso de volta na regra do produto:

A nossa ideia é igualar essa expressão a zero:

Então podemos cancelar aquelas constantes:

E agora simplificando um pouco:

E reorganizando:

Multiplicando os dois lados por :

Então:

Dividindo o numerador e o denominador do lado direito por , ficamos com:

E agora é só reorganizar um pouco:

Beleza, chegamos exatamente na equação que o enunciado sugeriu:

Só que no nosso caso:

O enunciado diz que a raiz dessa equação é:

Então o comprimento de onda máximo é:

Substituindo com a nossa expressão do :

Pronto! Demonstramos o resultado que foi pedido.

(b) Nesse item o enunciado quer que a gente olhe para essa equação:

E avalie as constantes, para mostrar que , conforme a equação que foi dada!

A constante de Planck é:

E a velociadade da luz é:

A constante de Botlzmann é:

Então, substituindo:

Agora é só fazer essas contas na calculadora! Algumas unidades vão se cancelar, e sobra apenas :

Que é exatamente onde queríamos chegar.

(a) Demonstração.

(b) Demonstração.