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Enunciado

Física - Tipler - Vol 3- Ed: 6º - Capítulo 39.1 - Ex. 35

Mostre que d m 0 u 1 - u 2 c 2 = m 0 1 - u 2 c 2 - 3 2 . Nota: Esta relação foi usada para derivar a expressão relativisticamente correta para a energia cinética (Equação 39-22).

Passo 1

Fala aee, tudo tranquilo??

Pô, se temos que mostrar que:

d m 0 u 1 - u 2 c 2 = m 0 1 - u 2 c 2 - 3 2

O que podemos fazer de cara é pegar m 0 u 1 - u 2 c 2 e derivar pela regra do quociente! Então:

d d u m 0 u 1 - u 2 c 2 = m 0 u ' 1 - u 2 c 2 - 1 - u 2 c 2 ' ( m 0 u ) 1 - u 2 c 2 2

d d u m 0 u 1 - u 2 c 2 = m 0 u ' 1 - u 2 c 2 - 1 - u 2 c 2 ' ( m 0 u ) 1 - u 2 c 2

Passo 2

Bom, vamos fazer com calma. Primeiro, vamos calcular a derivada de 1 - u 2 c 2 = 1 - u 2 c 2 1 / 2 . Pela regra da cadeia:

1 - u 2 c 2 1 / 2 ' = - 2 u c 2 1 2 1 - u 2 c 2 - 1 2

1 - u 2 c 2 1 / 2 ' = - u c 2 1 - u 2 c 2 - 1 2

E a derivada de m 0 u :

m 0 u ' = m 0

Passo 3

Substituindo as derivadas na equação do passo 1:

d d u m 0 u 1 - u 2 c 2 = m 0 1 - u 2 c 2 1 2 - - u c 2 1 - u 2 c 2 - 1 2 ( m 0 u ) 1 - u 2 c 2

d d u m 0 u 1 - u 2 c 2 = m 0 1 - u 2 c 2 1 2 + m 0 u 2 c 2 1 - u 2 c 2 - 1 2 1 - u 2 c 2

Multiplicando em cima e embaixo por 1 - u 2 c 2 1 2 :

d d u m 0 u 1 - u 2 c 2 = m 0 1 - u 2 c 2 1 2 + m 0 u 2 c 2 1 - u 2 c 2 - 1 2 1 - u 2 c 2 1 - u 2 c 2 1 2 1 - u 2 c 2 1 2

d d u m 0 u 1 - u 2 c 2 = m 0 1 - u 2 c 2 + m 0 u 2 c 2 1 - u 2 c 2 0 1 - u 2 c 2 3 2

d d u m 0 u 1 - u 2 c 2 = m 0 1 - u 2 c 2 + m 0 u 2 c 2 1 - u 2 c 2 3 2

d d u m 0 u 1 - u 2 c 2 = m 0 - m 0 u 2 c 2 + m 0 u 2 c 2 1 - u 2 c 2 3 2

d d u m 0 u 1 - u 2 c 2 = m 0 1 - u 2 c 2 3 2

∴

d d u m 0 u 1 - u 2 c 2 = m 0 1 - u 2 c 2 - 3 2

Prontinho!! Mostramos!

Resposta

Explicação no passo a passo.

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