Mostre que os operadores Π ^ j definidos nas (8.48) têm a propriedade

Π ^ j 2 = Π ^ j

Demonstre que daí decorre que os únicos autovalores desses operadores são 0 e 1 . Mostre que

Π ^ 1   Π ^ 2 = 0

Passo 1

Para uma dada base { e 1 ,   e 2 ,   e 3 ,   … } , o operador projeção é definido por

Π ^ j = e j e j

Assim,

Π ^ j 2 = Π ^ j   Π ^ j = e j e j   e j e j

Logo,

Π ^ j 2 = e j e j e j e j

Mas como e j e j = 1 , temos que

Π ^ j 2 = e j e j

Logo,

Π ^ j 2 = Π ^ j

Com isso,

Π ^ j 2 - Π ^ j v = 0

Ou ainda,

Π ^ j   Π ^ j - 1 ^ v = 0

Logo,

Π ^ j v = 0 v             o u         Π ^ j v = 1 v

Isso significa que os autovalores de Π ^ j são 0 ou 1 .

Passo 2

Para o produto de dois operadores associados a vetores diferentes:

Π ^ 1   Π ^ 2 = e 1 e 1   e 2 e 2 = e 1 e 1 e 2 e 2

Como a base é ortonormal, temos que

e 1 e 2 = 0

Assim,

Π ^ 1   Π ^ 2 = 0

Resposta

Demonstração.

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