Mostre que os operadores definidos nas (8.48) têm a propriedade
Demonstre que daí decorre que os únicos autovalores desses operadores são e . Mostre que
Passo 1
Para uma dada base , o operador projeção é definido por
Assim,
Logo,
Mas como , temos que
Logo,
Com isso,
Ou ainda,
Logo,
Isso significa que os autovalores de são ou .
Passo 2
Para o produto de dois operadores associados a vetores diferentes:
Como a base é ortonormal, temos que
Assim,
Resposta
Demonstração.