Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Física - Moysés - Vol. 4 - Ed: 1º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 2

Obtenha os vetores de estado de polarização circular na representação alternativa, em que

θ = 1 2 e - i θ e i θ

por um método análogo ao que levou às (8.25). Interprete o resultado.

Passo 1

Assim como foi feito na seção 8.5, vamos representar o vetor de estado por

c = a b

Como a intensidade de um feixe circulamente polarizado se reduz pela metade ao passar por um analisador de direção θ , temos que

P θ ,   c = θ c 2 = 1 2

Temos que

θ = 1 2 e i θ e - i θ

Logo,

θ c = 1 2 e i θ e - i θ   a b = 1 2 a e i θ + b e - i θ

Para calcular o módulo quadrado, fazemos:

θ c 2 = 1 2 a e i θ + b e - i θ * a e i θ + b e - i θ

Logo, lembrando que a e b também são complexos:

θ c 2 = 1 2 a * e - i θ + b *   e i θ a e i θ + b e - i θ

Portanto,

θ c 2 = 1 2 a 2 + a * b   e - 2 i θ + a b *   e 2 i θ + b 2

Com isso,

P θ ,   c = 1 2 a 2 + a * b   e - 2 i θ + a b *   e 2 i θ + b 2 = 1 2

Chegamos então em

a 2 + a * b   e - 2 i θ + a b *   e 2 i θ + b 2 = 1

Essa relação deve valer para qualquer θ .

Passo 2

Escolhendo θ = 0 :

a 2 + a * b + a b * + b 2 = 1

Já para θ = π / 2 , temos que

e - 2 i θ = e - i π = - 1

e 2 i θ = e i π = - 1

Portanto, a relaão fica

a 2 - a * b - a b * + b 2 = 1

Note que já temos duas equações:

a 2 + a * b + a b * + b 2 = 1 a 2 - a * b - a b * + b 2 = 1

Somando as duas equações,

a 2 + b 2 = 1

Essa é a condição de normalização! Substituindo de volta numa das equações:

1 + a * b + a b * = 1

Logo,

a * b = - a b *

Vamos guardar essa expressão. Além disso, substituindo a 2 + b 2 = 1 na relação a 2 + a * b   e - 2 i θ + a b *   e 2 i θ + b 2 = 1 , obtemos

a * b   e - 2 i θ + a b *   e 2 i θ = 0

Essa relação deve valer para qualquer θ .

Passo 3

Vamos fazer agora θ = π / 4 :

e - 2 i θ = e - i π 2 = - i

e 2 i θ = e i π 2 = i

Assim,

- i   a * b + i   a b * = 0

Portanto,

a * b = a b *

Mas vimos no passo anterior que

a * b = - a b *

Para resolver essa situação, vamos considerar o sistema:

y = x y = - x

A única solução desse sistema é

x = y = 0

Portanto, devemos ter

a * b = a b * = 0

Logo, ou a = 0 ou b = 0 . Mas sempre com a condição:

a 2 + b 2 = 1

Escolhendo b = 0 , devemos ter

a 2 = 1

Portanto, vamos adotar a = 1 . Da mesma forma, escolhendo a = 0 , podemos tomar b = 1 . Note que com essas escolhas, obtemos os dois possíveis estados de polarização a direita ou a esquerda:

+ = 1 0             e           - = 0 1

Note que nessa representação, os vetores da base 1 0 ,   0 1 são os própios estados de polarização à direira ou à esquerda!

Resposta

+ = 1 0             e           - = 0 1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule P θ ^ ,J z ^ .
Desenhe os vetores da FIGURA EX3.1 sobre uma folha de papel. Depois determine A → + B → e A → - B →
Desenhe os vetores da FIGURA EX3.2 sobre uma folha de papel. Depois determine A → + B → e A → - B →
Mostre que, para qualquer operador A ^ , têm-se A ^ † † = A ^
Para os vetores indicados na Figura 1.25, a) ache o módulo, a direção e o sentido do produto vetorial A → × B → ; b) ache o módulo, a direção e o sentido do produto vetorial B → × A →