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Enunciado

Física - Moysés - Vol. 4 - Ed: 1º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 3

Mostre que, para qualquer operador hat A , têm-se

(hat A^†)^† = hat A

Passo 1

Esse exercício é bem simples: queremos mostrar que o dagger do dagger é o próprio operador! Para isso, lembramos da definição:

(⟨a)| hat A |(b⟩) = ((⟨b)| hat A^† |(a⟩))^*

Da mesma forma,

(⟨b)| hat A^† |(a⟩) = ((⟨a)| (hat A^†)^† |(b⟩))^*

Portanto,

(⟨a)| hat A |(b⟩) = (((⟨a)| (hat A^†)^† |(b⟩))^*)^*

Mas sabemos que para qualquer número complexo z :

(z^*)^* = z

Assim, temos que

(⟨a)| hat A |(b⟩) = (⟨a)| (hat A^†)^† |(b⟩)

Passo 2

Com isso, podemos escrever:

(⟨a)| hat A |(b⟩) - (⟨a)| (hat A^†)^† |(b⟩) = 0

Usando a linearidade:

(⟨a)| hat A - (hat A^†)^† |(b⟩) = 0

Como essa relação deve valer para quaisquer vetores |(a⟩) e |(b⟩) , devemos ter

hat A - (hat A^†)^†

Portanto,

(hat A^†)^† = hat A

Resposta

Demonstração.

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