Mostre que o valor esperado = ∫ xψ 2dx é zero para o estado fundamental e o primeiro estado excitado do oscilador harmônico.

Bem, temos que:

Dessa forma, como a função exponencial não é par nem ímpar e é uma função ímpar, também será ímpar!! Mas, no momento em que elevamos ela ao quadrado, ela vira par, isso porque uma multiplicação entre duas funções ímpares resulta em uma função par. Ok?

Maasss ainda temos que multiplicar a função de onda ao quadrado por , que como vimos é ímpar. Dessa forma, teremos a multiplicação de (ímpar) por (par) que resultará num integrando ímpar!!

Após isso tudo, pelo termo dentro da integral ser ímpar, no oscilador harmônico, teremos essa integral sendo nula!! Pois os limites irão de um ponto genérico até , o que anula a integral para a função ímpar.

Só isso!!