Um objeto de massa m inicialmente em repouso é submetido a uma força dada por F → = k 1 i → + k 2 t 3 j → , onde k 1 e k 2 são constantes. Determine a velocidade v → ( t ) do objeto em função do tempo.

Passo 1

Da segunda lei de Newton temos:

F → R = m a →

Então a aceleração é:

a → = F → R m

E sabendo que a aceleração é a derivada da velocidade em função do tempo d v → / d t podemos ter uma relação entre a velocidade e a força:

d v → d t = 1 m   F → R

Passo 2

Agora multiplicando por d t dos dois lados e integrando em relação ao tempo temos:

∫ v 0 v d v → = 1 m   ∫ t = 0 t F → R ( t ) d t

Substituindo do lado direito a expressão da força em função do tempo:

v → ​ v 0 v f = 1 m ∫ t = 0 t k 1 i → + k 2 t 3 j → d t

Como v 0 = 0 temos que a velocidade v → é:

v → t = 1 m k 1 t i → + k 2 t 4 4 0 t

E a velocidade em função do tempo finalmente é:

v → t = k 1 m t i → + k 2 4 m t 4 j →

Resposta

v → t = k 1 m t i → + k 2 4 m t 4 j →

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