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Enunciado

Física - Tipler - Vol 2- Ed: 6º - Capítulo 27.1 - Ex. 23

Um par de bobinas de Helmholtz com raios R tem seus eixos ao longo do eixo z (veja o problema 22). Uma das bobinas está no plano z = - 1 2 R e a segunda bobina está em z = + 1 2 R . Mostre que, no eixo z em z = 0 , d B d z = 0 , d 2 B d z 2 = 0   e d 3 B d z 3 = 0   (Nota: estes resultados mostram que a magnitude e a direção do campo magnético na região de cada lado do ponto médio são aproximadamente iguais á magnitude e à direção do campo magnético no ponto médio.)

Passo 1

E aí bonit@s, como vocês estão? Preparados pra mais uma questão?

Se liguem só, vamos deixar o 1 denotar a bobina centrada em z = - 1 2 R e o 2 a bobina centrada em z = 1 2 R . Podemos expressar a intensidade do campo magnético na região entre as bobinas como a soma das intensidades do campo magnético devido às duas bobinas e então avaliar as derivadas desta função para mostrar o que a questão pediu.

Passo 2

Pois bem, a força do campo magnético no eixo z devido a bobina centrada em z = - 1 2 R é dada por

B 1 z = μ 0 N R 2 I 2 z 1 3

Onde z 1 = z + 1 2 R 2 + R 2 e N é o número de voltas na bobina. Agora, para a bobina centrada em z = 1 2 R teremos

B 2 z = μ 0 N R 2 I 2 z 2 3

Onde z 2 = z - 1 2 R 2 + R 2 . Somando as duas equações teremos o campo magnético total ao longo do eixo z que será dado por

B z z = B 1 z + B 2 z

B z z = μ 0 N R 2 I 2 z 1 3 + μ 0 N R 2 I 2 z 2 3 = μ 0 N R 2 I 2 ⋅ z 1 - 3 + z 2 - 3

Passo 3

Agora que temos uma expressão para o campo magnético total podemos ir mostrando o que o problema pede, diferenciando a expressão acima de modo a obter

d B z d z = μ 0 N R 2 I 2 ⋅ - 3 ⋅ z 1 - 4 ⋅ d z 1 d z - 3 ⋅ z 2 - 4 ⋅ d z 2 d z     i

Como z 1 = z + 1 2 R 2 + R 2 teremos

d z 1 d z = 1 2 ⋅ z + 1 2 R 2 + R 2 - 1 2 ⋅ 2 ⋅ z + 1 2 R

d z 1 d z = z + 1 2 R z 1       i i

Analogamente, para z 2 teremos

d z 2 d z = z - 1 2 R z 2       i i i

Calculando z 1 0   e   z 2 0 teremos

z 1 0 = R 2 4 + R 2 = 5 R 2 4 1 2

z 2 0 = R 2 4 + R 2 = 5 R 2 4 1 2

Substituindo i i   e   i i i em i vamos obter

d B z d z = μ 0 N R 2 I 2 ⋅ - 3 ⋅ z 1 - 4 ⋅ z + 1 2 R z 1 - 3 ⋅ z 2 - 4 ⋅ z - 1 2 R z 2      

Agora substituindo z 1 0   e   z 2 0 e calculando d B z d z   em z = 0

d B z d z z = 0 = μ 0 N R 2 I 2 ⋅ - 3 ⋅ 1 2 R 5 4 ⋅ R 2 5 2 + 3 ⋅ 1 2 R 5 4 ⋅ R 2 5 2       = 0

Passo 4

Seguindo, como precisamos demonstrar para a segunda derivada e para terceira vamos derivar d B z d z com relação a z vamos ter

d 2 B z d z 2 = μ 0 N R 2 I 2 ⋅ - 3 ⋅ 1 z 1 5 - 5 ⋅ z + 1 2 R 2 z 1 7 + 1 z 2 5 - 5 ⋅ z - 1 2 R 2 z 2 7

Calculando para z = 0 teremos

d 2 B z d z 2 z = 0 = μ 0 N R 2 I 2 ⋅ - 3 ⋅ 1 z 1 5 - 5 ⋅ z + 1 2 R 2 z 1 7 + 1 z 2 5 - 5 ⋅ z - 1 2 R 2 z 2 7

d 2 B z d z 2 z = 0 = μ 0 N R 2 I 2 ⋅ - 3 ⋅ 1 5 4 R 5 2 - 5 4 R 2 5 4 R 7 2 + 1 5 4 R 5 2 - 5 4 R 2 5 4 R 7 2 = 0

Passo 5

Para finalizar, vamos derivar a expressão de d 2 B z d z 2 e aplicar no zero de modo a obter

d 3 B z d z 3 = μ 0 N R 2 I 2 ⋅ - 3 3 5 ⋅ z + 1 2 R 3 z 1 9 - 15 ⋅ z + 1 2 R z 2 7 - 1 5 ⋅ z - 1 2 R z 2 7 + 35 ⋅ z - 1 2 R 3 z 2 9

Aplicando em z = 0 teremos

d 3 B z d z 3 z = 0 = μ 0 N R 2 I 2 ⋅ - 3 ⋅ 35 1 2 R 3 5 4 R 2 9 2 - 15 1 2 R 5 4 R 2 7 2 - 15 1 2 R 5 4 R 2 7 2 + 35 1 2 R 3 5 4 R 2 9 2 = 0

Pronto, tá resolvido nosso problema. Graças a Deus, né? rs

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o

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