Enunciado

Um solenóide tem n voltas por unidade de comprimento, raio R e conduz uma corrente I. Seu eixo coincide com o eixo z – uma extremidade em z = - 1 2 l e a outra em z = + 1 2 l . Mostre que a magnitude do campo magnético em um ponto no eixo z é dada por

B = 1 2 μ 0 n I ( cos ⁡ θ 1 - cos ⁡ θ 2 )

Onde os ângulos estão relacionados pela geometria através de

cos ⁡ θ 1 = ( z + 1 2 l ) z + 1 2 l 2 + R 2

cos ⁡ θ 2 = ( z - 1 2 l ) z - 1 2 l 2 + R 2

Passo 1

Essa questão parece ser complicada, mas não é tanto!

Vamos lá!

Sabemos que:

d B = μ 0 4 π 2 π R 2 I z - z ' 2 + R 2 3 / 2 d z '

Vamos integrar de z = - l / 2 até z = + l / 2 :

B = μ 0 n I R 2 2 ∫ - l / 2 + l / 2 d z ' z - z ' 2 + R 2 3 / 2

B = μ 0 n I 2 z + l 2 z + l 2 2 + R 2 - z - l 2 z - l 2 2 + R 2

Passo 2

Sendo

B = μ 0 n I 2 z + l 2 z + l 2 2 + R 2 - z - l 2 z - l 2 2 + R 2

Agora, substituindo:

cos ⁡ θ 1 = ( z + 1 2 l ) z + 1 2 l 2 + R 2

cos ⁡ θ 2 = ( z - 1 2 l ) z - 1 2 l 2 + R 2

Teremos:

B = μ 0 n I 2 cos ⁡ θ 1 - cos ⁡ θ 2

Resposta

B = μ 0 n I 2 cos ⁡ θ 1 - cos ⁡ θ 2

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