Enunciado
Física - Príncipios de física - Serway - Princípios De Física: Mecânica Clássica e Relatividade - Ed: 5º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 18
Um paraquedista de 80,0 kg salta de um balão a uma altitude de 1000 m e abre seu paraquedas a uma altitude de 200 m. (a) Supondo que a força de resistência total no paraquedista seja constante em 50,0 N com o paraquedas fechado e constante em 3600 N com ele aberto, encontre a velocidade do paraquedista quando pousa no chão. (b) Você acha que ele vai se machucar? Explique. (c) A que altura o paraquedas deveria ser aberto de modo que a velocidade final do paraquedista fosse de 5,00 m/s quando ele chega ao chão? (d) Quão realista é a suposição de que a força de resistência total é constante? Explique.
Passo 1
(a)Gente, na altura de 1000 metros, o paraquedista de 80 kg tem uma determinada energia potencial gravitacional, certo? Considerando , ela vai valer:
No que ele cai da altura de 1000 metros até a altura de 200 metros, com o paraquedas fechado, ele percorre 800 metros. Nesse percurso, a energia dissipada devido à força de atrito do ar, , vale ,
onde é o deslocamento de 800 metros e é dada como constante, valendo . Com isso, a gente tem:
Beleza?
Só que além dessa energia dissipada com o paraquedas fechado, no que ele abre o paraquedas na altura de 200 metros, a força de atrito passa a valer . Nisso, outro valor de energia, , vai ser dissipado. Dessa vez, sendo , vamos calcular:
Com isso, amores, a gente vai determinar a velocidade do paraquedista ao tocar no solo pelo princípio de conservação de energia.
Ao longo de todo o percurso, a energia potencial gravitacional que ele tinha logo no começo vai virando energia cinética. Porém, como acabamos de calcular, parte dessa energia potencial se perde pelo atrito.
Matematicamente, a gente escreve isso aqui:
Aplicando as formulinhas e os dados que a gente já conhece, a gente tem:
Aqui, a gente sabe que é a massa do paraquedista, que vale . Com isso, a gente vai ter como única incógnita a velocidade de pouso . Bora calcular?
(b)Gente, essa velocidade convertida pra vai valer:
Imagina só você caindo no chão a uma velocidade de um carro em uma via expressa!
Acho que fica claro que esse paraquedista vai direto pro outro plano...
Passo 2
(c)Vamos chamar essa altura de , que é um valor entre (altura do balão) e (o solo).
É razoável a gente imaginar que vai ser superior a altura de 200 metros original, em que o paraquedista originalmente abriu o paraquedas, fazendo com que a velocidade de pouso seja menor que a calculada no último Passo, não é?!
Com isso, o que vai mudar no nosso cálculo, aplicando a conservação de energia, vão ser os deslocamentos com o paraquedas fechado e com o paraquedas aberto!
A gente escreveu pra e no último Passo isso aqui:
E
Sendo que valia e valia , sendo cada deslocamento submetido a uma força de atrito específica e constante, de e , respectivamente, pro deslocamento de paraquedas fechado e pro deslocamento de paraquedas aberto.
Tudo certo até aqui??
Agora, de modo análogo, a gente vai considerar novos valores pra e , sendo eles:
E
Certinho?
Com isso, basta a gente aplicar na equação pra conservação de energia que usamos no último Passo, considerando agora que .
A gente vai ficar com isso aqui:
E pronto, nossa única incógnica fica sendo , a altura necessária pra se abrir o paraquedas e cair no solo a apenas de velocidade! Bem melhor que cair a quase , né??
Vamos calcular isso! Ficaremos com:
Vamos isolar os termos com do que não tem :
Finalmente, a gente vai ter:
Passo 3
(d)Não é tão realista, uma vez que essa força depende de fatores climáticos, bem como da disposição em que o paraquedista cai. Se ele cai “deitado”, a resistência do ar vai ser maior, se ele cai “em parafuso”, vai ser menor, e nunca vai ter sempre um valor constante a todo momento!
Resposta
(a)
(b) Vide Passo 1.
(c)
(d) Vide Passo 3.