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Enunciado

Física - Tipler - Vol 2- Ed: 6º - Capítulo 23.1 - Ex. 88

Uma partícula de massa m e uma carga positiva q setá restrita ao movimento ao longo do eixo x . Em x = - L e em x = L , estão dois anéis carregados de raio L . Cada anel está centrado no eixo x e está em um plano perpendicular a ele. Cada anel tem uma carga total positiva Q uniformemente distribuída. (a) Obtenha uma expressão para o potencial V x no eixo x devido à carga nos anés. (b) Mostre que V x tem um mínimo em x = 0 . (c) Mostre que, para x ≪ L o potencial tende à forma V x = V 0 + a x 2 . (d) Use o resultado da parte (c) para deduzir uma expressão para a frequência angular de oscilação da massa m se ela for levemente deslocada da origem e liberada. (Considere que o potencial seja zero nos pontos distantes dos anéis).

Passo 1

Fala galera, beleza? Lembre-se que o potencial de um anel é dado pela expressão:

V x = k Q x 2 + a 2

Como temos dois anéis, teremos dois potenciais a se considerar.

Passo 2

  1. Temos que

    2. V = V 1 + V 2 V = k Q 1 x + L 2 + L 2 + 1 x - L 2 + L 2

  2. Vamos derivar a expressão acima em relação a x :

    3. d V d x = k Q L - x L - x 2 + L 2 3 / 2 - L + x L + x 2 + L 2 3 / 2

    Para analisarmos o mínimo, temos que fazer d V d x = 0 . Logicamente, x = 0 nos dará d V d x = 0 .

    Calculando a 2ª derivada, temos

    d 2 V d x 2 = k Q 3 L - x 2 L - x 2 + L 2 3 / 2 - 1 L - x 2 + L 2 + 3 L + x 2 L + x 2 + L 2 3 / 2 - 1 L - x 2 + L 2 3 / 2

    Fazendo x = 0 , temos

    d 2 V d x 2 = k Q 2 2 L 3 > 0

    de modo que, realmente, x = 0 é um ponto de mínimo.

    Passo 3

  3. Lembre-se da expansão de Taylor para uma função qualquer:

    4. V x = V 0 + V ' 0 x + 1 2 V ' ' 0 x 2 + …

    Para x ≪ L podemos aproximar essa função até a segunda ordem. Como V ' 0 = 0 e V ' ' 0 = k Q / 2 2 L 3 , temos

    V x = V 0 + k Q 4 2 L 3 x 2

    que possui a forma V x = V 0 + α x 2 !!

  4. Lembre-se que um MHS, temos uma energia potencial da forma

U x = U 0 + 1 2 K x 2

O período do movimento é:

ω = K m

A energia potencial para o nosso caso é U = q ⋅ V . Assim,

U 0 = q V 0 + k q Q 4 2 L 3 x 2

Comparando as expressões, vemos que a “constante” de mola é:

K = k Q q 2 2 L 3

Logo, temos

ω = k Q q 2 m 2 L 3

Ufa... essa foi difícil!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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